Question

Решите систему уравнений : а) x/2 - y/3 = 2, x/4 + y/2 = 5; б) u/5 + v/2 =2 , - u/3 + v/2 = 2/3; в) 2p - q/2 = 14, p/2 + q/8 = 7; г) 3m/2 + 2n /3 = 6, 3m/4 + n/3 =12.

Answer 1

Конечно, решим данные системы уравнений:

а) \( \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \) \( \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 5 \)

Для начала приведем обе уравнения к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей:

Первое уравнение умножим на 6, чтобы избавиться от знаменателей: \( 6 \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) = 6 \cdot 2 \) \( 3x - 2y = 12 \)

Второе уравнение умножим на 4, чтобы избавиться от знаменателей: \( 4 \cdot \left(\frac{x}{4} + \frac{y}{2}\right) = 4 \cdot 5 \) \( x + 2y = 20 \)

Теперь у нас есть система уравнений: \(\begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ x + 2y = 20 \end{cases}\)

Сложим оба уравнения, чтобы убрать \(y\):

\(3x - 2y + x + 2y = 12 + 20\) \(4x = 32\) \(x = \frac{32}{4}\) \(x = 8\)

Подставим значение \(x\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\):

\(x + 2y = 20\) \(8 + 2y = 20\) \(2y = 20 - 8\) \(2y = 12\) \(y = \frac{12}{2}\) \(y = 6\)

Ответ: \(x = 8\), \(y = 6\)

б) \( \frac{u}{5} + \frac{v}{2} = 2 \) \( -\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{2}{3} \)

Умножим первое уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей: \( 6 \cdot \left(\frac{u}{5} + \frac{v}{2}\right) = 6 \cdot 2 \) \( \frac{6u}{5} + 3v = 12 \)

Второе уравнение умножим на 3, чтобы избавиться от знаменателей: \( 3 \cdot \left(-\frac{u}{3} + \frac{v}{2}\right) = 3 \cdot \frac{2}{3} \) \( -u + \frac{3v}{2} = 2 \)

Теперь у нас есть система уравнений: \(\begin{cases} \frac{6u}{5} + 3v = 12 \\ -u + \frac{3v}{2} = 2 \end{cases}\)

Решим эту систему методом подстановки или сложением уравнений.

Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей: \( -6u + 9v = 12 \)

Теперь сложим его с первым уравнением: \( \frac{6u}{5} + 3v + (-6u + 9v) = 12 + 12 \) \( \frac{6u}{5} - 6u + 3v + 9v = 24 \) \( -\frac{24u}{5} + 12v = 24 \)

Решим это уравнение относительно \(v\): \( 12v = \frac{24u}{5} + 24 \) \( v = \frac{2u}{5} + 2 \)

Теперь подставим \(v\) во второе уравнение: \( -u + \frac{3v}{2} = 2 \) \( -u + \frac{3}{2} \left(\frac{2u}{5} + 2\right) = 2 \) \( -u + \frac{6u}{5} + 3 = 2 \) \( -5u + 6u = 2 \cdot 5 \) \( u = 10 \)

Теперь найдем \(v\) с использованием значения \(u\): \( v = \frac{2u}{5} + 2 \) \( v = \frac{2 \cdot 10}{5} + 2 \) \( v = 4 + 2 \) \( v = 6 \)

Ответ: \(u = 10\), \(v = 6\)

в) \( 2p - \frac{q}{2} = 14 \) \( \frac{p}{2} + \frac{q}{8} = 7 \)

Умножим второе уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей: \( 4 \cdot \left(\frac{p}{2} + \frac{q}{8}\right) = 4 \cdot 7 \) \( 2p + \frac{q}{2} = 28 \)

Теперь у нас есть система уравнений: \(\begin{cases} 2p - \frac{q}{2} = 14 \\ 2p + \frac{q}{2} = 28 \end{cases}\)

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы убрать \(p\):

\(2p + \frac{q}{2} - (2p - \frac{q}{2}) = 28 - 14\) \(2p + \frac{q}{2} - 2p + \frac{q}{2} = 14\) \(\frac{q}{2} + \frac{q}{2} = 14\) \(q + q = 28\) \(2q = 28\) \(q = \frac{28}{2}\) \(q = 14\)

Подставим значение \(q\) в первое уравнение, чтобы найти \(p\):

\(2p - \frac{q}{2} = 14\) \(2p - \frac{14}{2} = 14\) \(2p - 7 = 14\) \(2p = 14 + 7\)