Question

Скільки цілих розв'язків має нерівність x^2+4x-12<=0

Answer 1

Щоб знайти цілі розв'язки нерівності \(x^2 + 4x - 12 \leq 0\), потрібно визначити значення \(x\), при яких ліва частина нерівності менше або рівна нулю.

Найпростіший спосіб вирішити цю нерівність - використовувати метод інтервалів. Для цього спочатку знаходимо корені квадратного рівняння \(x^2 + 4x - 12 = 0\). Використовуючи квадратне рівняння, можна знайти корені шляхом факторизації або використовуючи квадратний корінь.

Факторизуємо рівняння: \[ x^2 + 4x - 12 = 0 \implies (x + 6)(x - 2) = 0. \]

Отримали два корені: \(x = -6\) та \(x = 2\).

Це означає, що рівняння \(x^2 + 4x - 12\) дорівнює нулю при \(x = -6\) та \(x = 2\).

Тепер визначимо знак виразу \(x^2 + 4x - 12\) на кожному з інтервалів, утворених цими коренями.

1. При \(x < -6\): Обираємо, наприклад, \(x = -7\), і вставимо в рівняння: \[ (-7)^2 + 4(-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0. \] Таким чином, на цьому інтервалі вираз \(x^2 + 4x - 12\) є додатнім.

2. При \(-6 < x < 2\): Обираємо, наприклад, \(x = 0\), і вставимо в рівняння: \[ 0^2 + 4(0) - 12 = -12 < 0. \] Таким чином, на цьому інтервалі вираз \(x^2 + 4x - 12\) є від'ємним.

3. При \(x > 2\): Обираємо, наприклад, \(x = 3\), і вставимо в рівняння: \[ 3^2 + 4(3) - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 > 0. \] Таким чином, на цьому інтервалі вираз \(x^2 + 4x - 12\) є додатнім.

Тепер знаходимо значення \(x\), для яких вираз \(x^2 + 4x - 12\) рівний нулю. Це будуть точки \(x = -6\) та \(x = 2\).

Отже, цілі розв'язки нерівності \(x^2 + 4x - 12 \leq 0\) - це значення \(x\), які знаходяться на інтервалах, де вираз від'ємний або рівний нулю. Таким чином, розв'язком є \(-6 \leq x \leq 2\).