Question

Яке найменше значення може приймати вираз sin^6x + cos^6x? Як вирішувати подібні задачі, чи є якась формула?

Answer 1

Для вирішення даної задачі використаємо формулу подвійного кута для синуса та косинуса. Ця формула гласить: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Застосуємо ці формули до вислову sin^6(x) + cos^6(x):

sin^6(x) + cos^6(x) = (sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3

За допомогою формули подвійного кута замінимо sin^2(x) та cos^2(x) виразами з sin(2x) та cos(2x):

(sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 = (1/2)^3 * (1 - cos(4x)) + (1/2)^3 * (1 + cos(4x)) = 1/8 * (1 - 3cos(4x) + 3cos^2(4x) - cos^3(4x)) + 1/8 * (1 + 3cos(4x) + 3cos^2(4x) + cos^3(4x)) = 1/8 * (2 + 6cos^2(4x) + 2cos^3(4x))

Позначимо y = cos^2(4x). Тоді вираз прийме вигляд:

1/8 * (2 + 6y + 2y^3)

Для знаходження найменшого значення виразу y^3 + 3y + 1 можна використати метод диференційованія. Розподілимо вираз на дві складові:

y^3 + 3y + 1 = (y^3 + 1) + 3y

Знайдемо похідні від обох складових:

(d/dy)(y^3 + 1) = 3y^2 (d/dy)(3y) = 3

Отримали систему рівнянь:

3y^2 = 0 3 = 0

Звідси бачимо, що в обох випадках похідні дорівнюють нулю. Це означає, що найменше значення виразу досягається при y = 0.

Підставляємо y = 0 в вираз 1/8 * (2 + 6y + 2y^3):

1/8 * (2 + 6(0) + 2(0)^3) = 1/8 * 2 = 1/4

Отже, найменше значення виразу sin^6(x) + cos^6(x) дорівнює 1/4.