Question

Методом математической индукции доказать делимость на 11, при n ∈ N

Answer 1

Для доказательства делимости чисел на 11 с использованием метода математической индукции, мы можем предложить следующее утверждение:

Пусть N - число, состоящее из цифр n_1 n_2 n_3 ... n_k, тогда N делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы его цифр на четных позициях и суммы его цифр на нечетных позициях делится на 11.

Доказательство по индукции: Шаг 1: Проверка базы индукции Если число N состоит из одной цифры, то N = n_1, и разность суммы цифр на четных и нечетных позициях равна n_1 - 0 = n_1, которое делится на 11, если и только если n_1 делится на 11 (так как n_1 - 0 = n_1). Таким образом, база индукции выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для чисел из k цифр, утверждение верно, то есть число N = n_1 n_2 n_3 ... n_k делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы его цифр на четных и нечетных позициях делится на 11.

Шаг 3: Доказательство шага индукции Рассмотрим число N = n_1 n_2 n_3 ... n_{k+1}, состоящее из k + 1 цифр. Применим предположение индукции к числу N' = n_1 n_2 n_3 ... n_{k}, то есть число N' делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы его цифр на четных и нечетных позициях делится на 11.

Рассмотрим два случая: k + 1 - число нечетное или k + 1 - число четное.

1. k + 1 - нечетное В этом случае мы добавляем еще одну нечетную цифру к числу N', и это никак не влияет на суммы цифр на четных и нечетных позициях числа N'. Таким образом, разность этих сумм останется той же, и число N = N' * 10^(k+1) + n_{k+1} будет делиться на 11, если и только если N' делится на 11.

2. k + 1 - четное В этом случае мы добавляем еще одну четную цифру к числу N', и сумма цифр на четных и нечетных позициях числа N' увеличится на n_{k+1}. Но разность этих сумм также изменится на n_{k+1}. Таким образом, число N = N' * 10^(k+1) + n_{k+1} будет делиться на 11, если и только если N' + n_{k+1} делится на 11.

Таким образом, мы доказали, что для любого числа N, состоящего из цифр n_1 n_2 n_3 ... n_k, число N делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы его цифр на четных и нечетных позициях делится на 11.

Используя это утверждение, мы можем доказать делимость числа n на 11 методом математической индукции.