Question

Sin^2x-8sinxcosx+7cos^2x=0

Answer 1

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной sin(x). Давайте решим его поэтапно.

1. Для начала, заметим, что данное уравнение может быть переписано в следующей форме:

sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) + 7cos^2(x) = 0

2. Заметим, что данное уравнение содержит произведение sin(x)cos(x). Мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для переписывания данного произведения:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это выражение в уравнение:

sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) + 7cos^2(x) = 0

sin^2(x) - 4sin(2x) + 7cos^2(x) = 0

3. Дальше, заметим, что данное уравнение содержит квадраты sin(x) и cos(x). Мы можем использовать тригонометрическую формулу:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Подставим это выражение в уравнение:

(1 - cos^2(x)) - 4sin(2x) + 7cos^2(x) = 0

1 - cos^2(x) + 7cos^2(x) - 4sin(2x) = 0

8cos^2(x) - cos^2(x) - 4sin(2x) = 0

7cos^2(x) - 4sin(2x) = 0

4. Для простоты заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

7cos^2(x) - 8sin(x)cos(x) = 0

5. Факторизуем данное уравнение:

cos(x)(7cos(x) - 8sin(x)) = 0

6. Теперь у нас есть два уравнения:

cos(x) = 0 (Уравнение 1)

7cos(x) - 8sin(x) = 0 (Уравнение 2)

7. Решим уравнение 1:

cos(x) = 0

x = π/2 + kπ, где k - целое число

8. Решим уравнение 2:

7cos(x) - 8sin(x) = 0

cos(x) = 8sin(x)/7

cos^2(x) = (8sin(x)/7)^2

1 - sin^2(x) = 64sin^2(x)/49

49 - 49sin^2(x) = 64sin^2(x)

113sin^2(x) = 49

sin^2(x) = 49/113

sin(x) = ± √(49/113)

x = arcsin(√(49/113)) + 2kπ или x = π - arcsin(√(49/113)) + 2kπ, где k - целое число

Таким образом, решение исходного уравнения sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) + 7cos^2(x) = 0 состоит из двух частей:

1. x = π/2 + kπ, где k - целое число 2. x = arcsin(√(49/113)) + 2kπ или x = π - arcsin(√(49/113)) + 2kπ, где k - целое число

Пожалуйста, обратите внимание, что я использовал обозначение k для обозначения целых чисел в формуле. Это общее обозначение для представления всех возможных целых значений.