Question

Помогите пожалуйста !!! Надо найти наибольшее наименьшее Y=-cosx-x на промежутке [-1.5pi ; 2.5 pi]

Answer 1

Давай разберемся с этой задачей. У нас есть функция \( Y = -\cos(x) - x \), и нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение этой функции на интервале \( [-1.5\pi; 2.5\pi] \).

Первым шагом можно проанализировать поведение функции. Функция \( Y = -\cos(x) - x \) содержит две составляющие: косинусную функцию \(-\cos(x)\) и линейную функцию \(-x\). Косинусная функция ограничена значениями от -1 до 1, а линейная функция \( -x \) является убывающей и стремится к отрицательной бесконечности при увеличении \( x \).

Так как мы рассматриваем интервал от \(-1.5\pi\) до \(2.5\pi\), давай сначала найдем значения функции в конечных точках интервала.

1. \( Y(-1.5\pi) = -\cos(-1.5\pi) + 1.5\pi \approx -0.866 + 1.5\pi \approx 1.675 \) (приблизительное значение). 2. \( Y(2.5\pi) = -\cos(2.5\pi) - 2.5\pi \approx -1 - 2.5\pi \approx -1.570 \) (приблизительное значение).

Теперь нужно проанализировать экстремумы функции внутри интервала. Для этого найдем производную функции \( Y' = \frac{dY}{dx} \):

\[ Y'(x) = \sin(x) - 1 \]

Чтобы найти критические точки, где \( Y'(x) = 0 \), решим уравнение:

\[ \sin(x) - 1 = 0 \] \[ \sin(x) = 1 \]

Так как синусная функция равна 1 только при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) для целого числа \( n \), найдем значение функции в этой точке:

\( Y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \)

Теперь нужно сравнить найденные значения:

- Максимальное значение: 1.675 - Минимальное значение в точке \( x = \frac{\pi}{2} \): -\(\frac{\pi}{2}\) - Минимальное значение на конце интервала: -1.570

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале \([-1.5\pi; 2.5\pi]\) равно 1.675, а наименьшее значение равно -\(\frac{\pi}{2}\).