Question

Найдите область определения функции у=под корнем 4-х^2 /х^2 - 3х

Answer 1

Чтобы найти область определения функции \(y = \sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2 - 3x}}\), нужно рассмотреть значения \(x\), при которых функция определена.

В выражении под корнем \(\sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2 - 3x}}\), необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю (поскольку деление на ноль не определено) и чтобы аргумент корня был неотрицательным числом (так как корень из отрицательного числа не определен в вещественных числах).

1. Знаменатель не равен нулю: \[x^2 - 3x \neq 0.\] Это уравнение можно решить, факторизовав его: \[x(x - 3) \neq 0.\] Получаем два решения: \(x \neq 0\) и \(x \neq 3\).

2. Аргумент корня неотрицателен: \[\frac{4 - x^2}{x^2 - 3x} \geq 0.\] Это неравенство можно решить, используя метод интервалов. Сначала найдем значения \(x\), для которых числитель и знаменатель одновременно равны нулю: - \(\text{Числитель: } 4 - x^2 = 0\) имеет решения \(x = -2\) и \(x = 2\). - \(\text{Знаменатель: } x^2 - 3x = 0\) имеет решения \(x = 0\) и \(x = 3\).

Теперь разделим числовую прямую на интервалы, образованные найденными значениями \(x\): \((- \infty, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, 3), (3, +\infty)\).

В каждом из этих интервалов нужно определить знак выражения \(\frac{4 - x^2}{x^2 - 3x}\). Для этого выберем тестовую точку в каждом интервале и подставим её в выражение: - Для интервала \((- \infty, -2)\) возьмем \(x = -3\) (любое число меньше -2). - Для интервала \((-2, 0)\) возьмем \(x = -1\) (любое число между -2 и 0). - Для интервала \((0, 2)\) возьмем \(x = 1\) (любое число между 0 и 2). - Для интервала \((2, 3)\) возьмем \(x = 2.5\) (любое число между 2 и 3). - Для интервала \((3, +\infty)\) возьмем \(x = 4\) (любое число больше 3).

Подставим эти значения в \(\frac{4 - x^2}{x^2 - 3x}\) и определим знак: - Для интервала \((- \infty, -2)\): \(\frac{4 - (-3)^2}{(-3)^2 - 3(-3)} = \frac{1}{12}\) (положительное). - Для интервала \((-2, 0)\): \(\frac{4 - (-1)^2}{(-1)^2 - 3(-1)} = -\frac{3}{2}\) (отрицательное). - Для интервала \((0, 2)\): \(\frac{4 - 1^2}{1^2 - 3 \cdot 1} = \frac{3}{2}\) (положительное). - Для интервала \((2, 3)\): \(\frac{4 - 2.5^2}{2.5^2 - 3 \cdot 2.5} = -\frac{7}{6}\) (отрицательное). - Для интервала \((3, +\infty)\): \(\frac{4 - 4^2}{4^2 - 3 \cdot 4} = \frac{4}{16}\) (положительное).

Таким образом, уравнение \(\frac{4 - x^2}{x^2 - 3x} \geq 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -2)\) и \((0, 2)\), а также на границах этих интервалов, исключая точки \(x = -2\) и \(x = 0\), так как в этих точках функция не определена.

Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{\frac{4 - x^2}{x^2 - 3x}}\) — это множество всех значений \(x\), кроме точек \(x = -2\) и \(x = 0\), а также интервалов \((- \infty, -2)\) и \((0, 2)\).