Question

Найти множества решений неравинств (x²-16)(x-5)<0

Answer 1

Чтобы найти множество решений неравенства \((x^2-16)(x-5)<0\), мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем корни уравнений, соответствующих неравенству:

1. \((x^2-16)=0\) Решение: \((x-4)(x+4)=0\) \(x=4\) или \(x=-4\)

2. \((x-5)=0\) Решение: \(x=5\)

Теперь у нас есть три точки, разбивающие вещественную ось на четыре интервала: \((- \infty, -4)\), \((-4, 4)\), \((4, 5)\) и \((5, +\infty)\).

Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения в каждом интервале:

1. Для интервала \((- \infty, -4)\) выберем \(x = -5\): \(((-5)^2-16)(-5-5) = (25-16)(-10) = 9 \times -10 = -90\) (знак "<0").

2. Для интервала \((-4, 4)\) выберем \(x = 0\): \((0^2-16)(0-5) = (-16)(-5) = 80\) (знак "не <0").

3. Для интервала \((4, 5)\) выберем \(x = 4.5\): \((4.5^2-16)(4.5-5) = (20.25-16)(-0.5) = 4.25 \times -0.5 = -2.125\) (знак "<0").

4. Для интервала \((5, +\infty)\) выберем \(x = 6\): \((6^2-16)(6-5) = (36-16)(1) = 20\) (знак "не <0").

Таким образом, неравенство \((x^2-16)(x-5)<0\) выполняется для интервалов \((- \infty, -4)\) и \((4, 5)\). Множество решений неравенства можно записать в виде объединения этих интервалов: \((- \infty, -4) \cup (4, 5)\).