Question

Решите систему уравнений: 1) a+b=2, ab=-48; 2) x+y=3, xy=-10; 3)y+z=-5, yz=6; 4) m+n=-3, mn=-18

Answer 1

Давайте решим каждую из систем уравнений поочередно.

1) \(a + b = 2\) и \(ab = -48\)

Используем метод подстановки или выражения второго уравнения через одну из переменных из первого уравнения. В данном случае можно выразить, например, переменную \(a\):

\(a = 2 - b\)

Подставим это в уравнение \(ab = -48\):

\((2 - b)b = -48\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\(2b - b^2 = -48\)

\(-b^2 + 2b + 48 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение. Мы видим, что коэффициент перед \(b^2\) отрицателен, поэтому у нас есть два корня:

\[b_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(48)}}{2(-1)}\]

\[b_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{-2}\]

\[b_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{-2}\]

\[b_{1,2} = \frac{-2 \pm 14}{-2}\]

Таким образом, у нас есть два значения для \(b\): \(b_1 = -8\) и \(b_2 = 6\).

Теперь мы можем найти соответствующие значения для \(a\) с использованием уравнения \(a = 2 - b\):

Для \(b_1\): \(a_1 = 2 - (-8) = 10\)

Для \(b_2\): \(a_2 = 2 - 6 = -4\)

Итак, у нас есть два набора решений для \(a\) и \(b\): \((10, -8)\) и \((-4, 6)\).

2) \(x + y = 3\) и \(xy = -10\)

Аналогично предыдущему случаю, мы можем выразить, например, переменную \(x\):

\(x = 3 - y\)

Подставим это в уравнение \(xy = -10\):

\((3 - y)y = -10\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\(-y^2 + 3y + 10 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение:

\[y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(10)}}{2(-1)}\]

\[y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{-2}\]

\[y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{-2}\]

\[y_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{-2}\]

Таким образом, у нас есть два значения для \(y\): \(y_1 = -5\) и \(y_2 = 2\).

Теперь мы можем найти соответствующие значения для \(x\) с использованием уравнения \(x = 3 - y\):

Для \(y_1\): \(x_1 = 3 - (-5) = 8\)

Для \(y_2\): \(x_2 = 3 - 2 = 1\)

Итак, у нас есть два набора решений для \(x\) и \(y\): \((8, -5)\) и \((1, 2)\).

3) \(y + z = -5\) и \(yz = 6\)

Аналогично предыдущим случаям, выразим переменную \(y\):

\[y = -5 - z\]

Подставим это в уравнение \(yz = 6\):

\((-5 - z)z = 6\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\(-z^2 - 5z + 6 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение:

\[z_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(-1)(6)}}{2(-1)}\]

\[z_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{-2}\]

\[z_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{-2}\]

\[z_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{-2}\]

Таким образом, у нас есть два значения для \(z\): \(z_1 = -6\) и \(z_2 = 1\).

Теперь мы можем найти соответствующие значения для \(y\) с использованием уравнения \(y = -5 - z\):

Для \(z_1\): \(y_1 = -5 - (-6) = 1\)

Для \(z_2\): \(y_2 = -5 - 1 = -6\)

Итак, у нас есть два набора решений для \(y\) и \(z\): \((1, -6)\) и \((-6, 1)\).

4) \(m + n = -3\) и \(mn = -18\)

Аналогично предыдущим случаям, выразим переменную \(m\):

\[m = -3 - n\]

Подставим это в уравнение \(mn = -18\):

\((-3 - n)n = -18\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\(-n^2 - 3n - 18 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение:

\[n_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(-1)(-18)}}{2(-1)}\]

\[n_{1