Question

Решить систему уравнений x/y+y/x= 5/2 и x+y=3

Answer 1

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания.

Метод подстановки: 1. Решаем второе уравнение относительно одной из переменных, например, относительно x: x = 3 - y. 2. Подставляем это значение x в первое уравнение: (3 - y)/y + y/(3 - y) = 5/2. 3. Приводим дроби к общему знаменателю: (2(3 - y) + 2y)/y(3 - y) = 5/2. 4. Упрощаем: (6 - 2y + 2y)/(y(3 - y)) = 5/2. 5. Упрощаем дробь: 6/(y(3 - y)) = 5/2. 6. Умножаем обе части уравнения на y(3 - y): 6 = (5/2)(y(3 - y)). 7. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 6 = (5/2)(3y - y^2). 8. Умножаем обе части уравнения на 2 для избавления от дроби: 12 = 5(3y - y^2). 9. Раскрываем скобки: 12 = 15y - 5y^2. 10. Переносим все слагаемые в одну сторону: 5y^2 - 15y + 12 = 0. 11. Решаем полученное квадратное уравнение. Найденные значения y подставляем во второе уравнение для нахождения соответствующих значений x.

Метод сложения/вычитания: 1. Умножаем оба уравнения на xy, чтобы избавиться от знаменателей в первом уравнении: x^2 + y^2 = (5/2)xy и x^2y + xy^2 = 3xy. 2. Вычитаем второе уравнение из первого: x^2 + y^2 - (x^2y + xy^2) = (5/2)xy - 3xy. 3. Делаем преобразования: x^2 + y^2 - x^2y - xy^2 = (5/2)xy - 3xy. 4. Упрощаем левую часть уравнения: x^2(1 - y) + y^2(1 - x) = (5/2 - 3)xy. 5. Упрощаем правую часть уравнения: x^2(1 - y) + y^2(1 - x) = (1/2)xy. 6. Разделяем уравнение на xy: x(1 - y) + y(1 - x) = 1/2. 7. Раскрываем скобки: x - xy + y - xy = 1/2. 8. Упрощаем: 2x - 2xy + 2y = 1. 9. Переносим все слагаемые в одну сторону: 2xy - 2x - 2y + 1 = 0. 10. Факторизуем полученное уравнение: 2(x - 1)(y - 1) = -1. 11. Делим обе части уравнения на -1/2: (x - 1)(y - 1) = -1/2. 12. Возможны два случая: a) x - 1 = -1/2 и y - 1 = 2 => x = 1/2 и y = 3. b) x - 1 = 1/2 и y - 1 = -2 => x = 3/2 и y = -1. Таким образом, система имеет два решения: (1/2, 3) и (3/2, -1).