Question

1) докажите что при любом значении a верно неравенство a^2-a<(=)50a^2-15a+1

Answer 1

Для того чтобы доказать неравенство a^2 - a < (≤) 50a^2 - 15a + 1 при любом значении a, мы можем использовать методы алгебры и анализа. Давайте рассмотрим его поэтапно.

Шаг 1: Перепишем неравенство

Неравенство, которое нужно доказать, можно переписать следующим образом:

a^2 - a < (≤) 50a^2 - 15a + 1

Шаг 2: Приведем подобные слагаемые

Для начала, давайте приведем подобные слагаемые в обоих частях неравенства:

a^2 - a - 50a^2 + 15a - 1 < (≤) 0

Шаг 3: Упростим неравенство

Теперь упростим неравенство:

-49a^2 + 14a - 1 < (≤) 0

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Мы получили квадратное уравнение -49a^2 + 14a - 1 = 0. Давайте решим его, чтобы найти значения a, при которых левая часть неравенства равна нулю.

Используя квадратное уравнение, можно найти корни:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае a = -49, b = 14 и c = -1. Подставим эти значения в формулу:

a = (-14 ± √(14^2 - 4(-49)(-1))) / (2(-49))

Вычислим значения в числовом виде:

a = (-14 ± √(196 - 196)) / (-98)

a = (-14 ± √0) / (-98)

a = -14 / -98

a = 1 / 7

Шаг 5: Анализируем неравенство

Теперь мы знаем, что уравнение -49a^2 + 14a - 1 = 0 имеет один корень a = 1/7. Давайте изучим поведение неравенства в зависимости от значений a.

# Подходящие значения a:

Мы знаем, что a = 1/7 является корнем уравнения, поэтому оно подходит для неравенства.

# Остальные значения a:

Давайте рассмотрим, что происходит с неравенством при значениях a, отличных от 1/7. Для этого рассмотрим знаки слагаемых в левой части неравенства:

-49a^2 + 14a - 1

Поскольку коэффициент перед a^2 отрицательный, это означает, что парабола, описываемая этим квадратным уравнением, открывается вниз. Кроме того, у нас есть только один корень уравнения, а значит, парабола пересекает ось x только в точке a = 1/7.

Таким образом, парабола находится ниже оси x для всех значений a, отличных от 1/7. Это означает, что левая часть неравенства всегда будет отрицательной.

# Правая часть неравенства:

Правая часть неравенства 50a^2 - 15a + 1 всегда будет положительной, так как коэффициент перед a^2 положителен.

Вывод:

Исходя из нашего анализа, мы можем заключить, что неравенство a^2 - a < (≤) 50a^2 - 15a + 1 выполняется при любом значении a, кроме a = 1/7. То есть, неравенство верно для всех значений a, кроме a = 1/7.