Question

Доказать тождество 2sin α sin2α + cos 3α=cosα

Answer 1

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы синуса и косинуса. Давайте начнем:

Используем формулу синуса для sin(2α): sin(2α) = 2sinαcosα

Теперь заменим sin(2α) в исходном тождестве: 2sinα + sin(2α) + cos(3α) = cosα

2sinα + 2sinαcosα + cos(3α) = cosα

Теперь воспользуемся формулой синуса для sin(3α): sin(3α) = 3sinα - 4sin^3(α)

Заменим sin(3α) в исходном тождестве: 2sinα + 2sinαcosα + cos(3α) = cosα 2sinα + 2sinαcosα + 3sinα - 4sin^3(α) = cosα

Теперь проведем несколько преобразований:

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 2sinα + 2sinαcosα + 3sinα - 4sin^3(α) - cosα = 0

Сгруппируем слагаемые синусов: 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - cosα = 0

Раскроем cosα в произведение: 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - cosα = 0 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - (1 - sin^2(α)) = 0 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - 1 + sin^2(α) = 0

Раскроем скобки: 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - 1 + sin^2(α) = 0 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - 1 + 1 - sin^2(α) = 0 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - sin^2(α) = 0

Теперь сгруппируем слагаемые: 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - sin^2(α) = 0 5sinα + 2sinαcosα - (4sin^3(α) + sin^2(α)) = 0

Используем формулу синуса для sin^2(α): sin^2(α) = 1 - cos^2(α)

Заменим sin^2(α) в уравнении: 5sinα + 2sinαcosα - (4sin^3(α) + sin^2(α)) = 0 5sinα + 2sinαcosα - (4sin^3(α) + 1 - cos^2(α)) = 0 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - 1 + cos^2(α) = 0

Теперь раскроем скобки: 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - 1 + cos^2(α) = 0 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - 1 + cos^2(α) = 0

Теперь воспользуемся формулой синуса для sin^3(α): sin^3(α) = (3sinα - 4sin^3(α))sin(α)

Заменим sin^3(α) в уравнении: 5sinα + 2sinαcosα - 4sin^3(α) - 1 + cos^2(α) = 0 5sinα + 2sinαcosα - (4(3sinα - 4sin^3(α))sin(α)) - 1 + cos^2(α) = 0 5sinα + 2sinαcosα - (12sinα - 16sin^3(α))sin(α) - 1 + cos^2(α) = 0

Упростим выражение: 5sinα + 2sinαcosα - 12sin^2(α) + 16sin^4(α) - 1 + cos^2(α) = 0

Теперь воспользуемся тождеством sin^2(α) + cos^2(α) = 1: 5sinα + 2sinαcosα - 12sin^2(α) + 16sin^4(α) - 1 + 1 = 0

Упростим дальше: 5sinα + 2sinαcosα - 12sin^2(α) + 16sin^4(α) = 0

Теперь воспользуемся формулой cosα = sqrt(1 - sin^2(α)): cosα = sqrt(1 - sin^2(α))

Заменим cosα в уравнении: 5sinα + 2sinαcosα - 12sin^2(α) + 16sin^4(α) = 0 5sinα + 2sinαsqrt(1 - sin^2(α)) - 12sin^2(α) + 16sin^4(α) = 0

Теперь мы можем видеть, что левая и правая части уравнения имеют разные выражения. Таким образом, данное тождество не доказано.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.