Question

При каком значении а выражение 4^{2}+3ax+9 является полным квадратом?

Answer 1

Чтобы выражение 4^{2} + 3ax + 9 являлось полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы оно могло быть представлено в виде квадрата какого-то выражения.

Выполним квадратное завершение для данного выражения:

(4x)^{2} + 3ax + 9

= (4x)^{2} + 2 * (4x) * (3/2a) + (3/2a)^{2} - (3/2a)^{2} + 9

= (4x + 3/2a)^{2} - (3/2a)^{2} + 9

Теперь выражение стало полным квадратом, если (4x + 3/2a)^{2} - (3/2a)^{2} + 9 = 0.

Для удобства введем новую переменную, например, b = 3/2a.

Тогда уравнение (4x + b)^{2} - b^{2} + 9 = 0.

(4x + b)^{2} - b^{2} = -9.

(4x + b + 3)(4x + b - 3) = 0.

Теперь рассмотрим два случая:

1) (4x + b + 3) = 0.

Тогда 4x + b = -3.

2) (4x + b - 3) = 0.

Тогда 4x + b = 3.

В обоих случаях можно решить уравнение относительно x, найдя его значения. Зная значения x, можно найти значения а, подставив их в первоначальное выражение.

Таким образом, при подходящих значениях а, выражение 4^{2} + 3ax + 9 будет являться полным квадратом.