Question

Найдите наименьшее значение функции у=x^3-4x^2+4x+3 на отрезке [1;6]

Answer 1

Для нахождения наименьшего значения функции у=x^3-4x^2+4x+3 на отрезке [1;6], нужно проверить значения функции в концах отрезка и в критических точках, и выбрать наименьшее значение.

1. Проверяем значения функции в концах отрезка:

При x=1: у=1^3 - 4(1)^2 + 4(1) + 3 = 1 - 4 + 4 + 3 = 4 При x=6: у=6^3 - 4(6)^2 + 4(6) + 3 = 216 - 144 + 24 + 3 = 99

2. Находим критические точки, где производная функции равна нулю:

у' = 3x^2 - 8x + 4

Находим корни уравнения 3x^2 - 8x + 4 = 0:

D = (-8)^2 - 4(3)(4) = 64 - 48 = 16 x1 = (-(-8) + √16) / (2(3)) = (8 + 4) / 6 = 2 x2 = (-(-8) - √16) / (2(3)) = (8 - 4) / 6 = 2/3

3. Проверяем значения функции в критических точках:

При x=2: у=2^3 - 4(2)^2 + 4(2) + 3 = 8 - 16 + 8 + 3 = 3 При x=2/3: у=(2/3)^3 - 4(2/3)^2 + 4(2/3) + 3 = 8/27 - 16/9 + 8/3 + 3 = 77/27 ≈ 2.852

Наименьшее значение функции на отрезке [1;6] достигается в точке x=2/3 и равно примерно 2.852.