Question

Помогите решить систему3x = y + 1 и 7^(y-2x+2) = 7^(y-4x+1) + 6

Answer 1

Давайте решим данную систему уравнений шаг за шагом. У нас есть два уравнения:

1. \(3x = y + 1\) 2. \(7^{y-2x+2} = 7^{y-4x+1} + 6\)

Начнем с первого уравнения:

Уравнение 1:

\[3x = y + 1\]

Мы можем выразить \(y\) через \(x\): \[y = 3x - 1\]

Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) во второе уравнение.

Уравнение 2:

\[7^{y-2x+2} = 7^{y-4x+1} + 6\]

Подставим \(y = 3x - 1\): \[7^{(3x-1)-2x+2} = 7^{(3x-1)-4x+1} + 6\]

Упростим степени и выражения:

\[7^{x+1} = 7^{-x+1} + 6\]

Теперь давайте решим это уравнение. Обратите внимание, что обе стороны содержат \(7^{1}\), поэтому мы можем упростить уравнение:

\[7^x = 7^{-x} + 6\]

Теперь, если мы преобразуем это уравнение, выразив все через одну степень \(7\), получим:

\[7^x - 7^{-x} = 6\]

Это уравнение содержит экспоненты. Введем замену, чтобы упростить его. Пусть \(u = 7^x\), тогда уравнение станет:

\[u - \frac{1}{u} = 6\]

Умножим обе стороны на \(u\), чтобы избавиться от дроби:

\[u^2 - 1 = 6u\]

Теперь преобразуем уравнение в квадратное:

\[u^2 - 6u - 1 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -1\). Подставим значения:

\[u = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\]

\[u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2}\]

\[u = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2}\]

\[u = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(u\):

1. \(u_1 = 3 + \sqrt{10}\) 2. \(u_2 = 3 - \sqrt{10}\)

Теперь, так как \(u = 7^x\), мы можем решить для \(x\):

1. \(7^x = 3 + \sqrt{10}\) 2. \(7^x = 3 - \sqrt{10}\)

Решения для \(x\) будут логарифмами от соответствующих значений \(u\). Решив их, мы можем получить значения \(x\).

Теперь мы можем использовать найденные значения \(x\), чтобы найти соответствующие значения \(y\) с помощью уравнения \(y = 3x - 1\).