Question

Найти первообразные функций f (x) =корень в степени три из x во второй степени

Answer 1

Для начала, выполним разложение функции f(x) на простейшие дроби:

f(x) = ∛(x²)

Предположим, что существует первообразная функция F(x), такая что F'(x) = f(x). Тогда F(x) = ∫f(x)dx = ∫∛(x²)dx.

Для решения этого интеграла воспользуемся заменой переменной. Обозначим u = x², тогда du = 2xdx. Переписав интеграл с использованием новых переменных, получим:

∫∛(x²)dx = ∫∛udu/(2x) = (1/2)∫u^(1/3)du

Теперь решим получившийся интеграл по переменной u:

(1/2)∫u^(1/3)du = (1/2) * (3/4)u^(4/3) + C = (3/8)u^(4/3) + C,

где C - произвольная постоянная.

Остается вернуться к исходной переменной x, заменив обратную замену u = x²:

(3/8)u^(4/3) + C = (3/8)(x²)^(4/3) + C = (3/8)x^(8/3) + C.

Таким образом, первообразная функция для f(x) = ∛(x²) равна (3/8)x^(8/3) + C.