Question

Найдите два неотрицательных числа если их разность равна 11 а сумма их квадратов равна 325 подробное решение\

Answer 1

Предположим, что неотрицательные числа обозначаются как \( x \) и \( y \), и что \( x > y \) (если \( y > x \), то можно просто поменять их местами).

Условие задачи можно записать в виде системы уравнений:

1. \( x - y = 11 \) (разность чисел равна 11) 2. \( x^2 + y^2 = 325 \) (сумма квадратов чисел равна 325)

Итак, у нас есть система уравнений. Давайте решим ее.

Из уравнения (1) мы можем выразить \( x \) через \( y \):

\[ x = y + 11 \]

Теперь подставим это значение \( x \) в уравнение (2):

\[ (y + 11)^2 + y^2 = 325 \]

Раскроем квадрат и упростим:

\[ y^2 + 22y + 121 + y^2 = 325 \]

\[ 2y^2 + 22y + 121 = 325 \]

\[ 2y^2 + 22y - 204 = 0 \]

Разделим все коэффициенты на 2:

\[ y^2 + 11y - 102 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где у нас есть уравнение \( ay^2 + by + c = 0 \).

В нашем случае: \[ a = 1, \ b = 11, \ c = -102 \]

\[ D = 11^2 - 4(1)(-102) \] \[ D = 121 + 408 \] \[ D = 529 \]

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{529}}{2} \]

\[ y_{1,2} = \frac{-11 \pm 23}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{-11 + 23}{2} = 6 \) 2. \( y_2 = \frac{-11 - 23}{2} = -17 \) (но это не может быть, так как \( y \) должно быть неотрицательным)

Таким образом, \( y = 6 \). Теперь найдем \( x \):

\[ x = y + 11 = 6 + 11 = 17 \]

Итак, два неотрицательных числа, которые удовлетворяют условиям задачи, равны 6 и 17.