Question

дана арифметическая прогрессия, в которой 150 чисел, разность прогрессии равна 35,  может ли в прогрессии быть ровно 10 чисел ,кратных 17?

Answer 1

Дано: арифметическая прогрессия, в которой 150 чисел, разность прогрессии равна 35.

Для того, чтобы определить, может ли в прогрессии быть ровно 10 чисел, кратных 17, необходимо найти первое число и последнее число этой прогрессии.

Формула для вычисления n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a_1 + (n-1) * d,

где a_n - n-й член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, n - индекс элемента прогрессии, d - разность прогрессии.

Так как разность прогрессии равна 35, можно записать:

a_n = a_1 + (n-1) * 35.

Теперь найдем значение первого числа:

a_1 = a_n - (n-1) * 35.

Дано, что в прогрессии должно быть ровно 10 чисел, кратных 17. Это означает, что среди чисел с индексами от 1 до 10 должно быть 10 чисел, кратных 17.

Запишем уравнение для этого:

a_1 + (10-1) * 35 ≡ 10 (mod 17).

Упростим его:

a_1 + 9 * 35 ≡ 10 (mod 17).

a_1 + 315 ≡ 10 (mod 17).

Обратимся к остаткам по модулю:

a_1 + 8 ≡ 10 (mod 17).

Вычитаем 8 из обеих частей уравнения:

a_1 ≡ 2 (mod 17).

Таким образом, найденное значение первого числа a_1 равно 2 модулю 17.

Теперь найдем последнее число прогрессии. Индекс последнего числа равен 150, поэтому:

a_150 = a_1 + (150-1) * 35.

a_150 = a_1 + 149 * 35.

Теперь проверим, сколько чисел, кратных 17, содержится в этой прогрессии. Если разность между последним и первым числом прогрессии делится на 17 без остатка, то количество чисел, кратных 17, будет равно (a_150 - a_1) / 17 + 1.

Подставим значения в формулу:

количество чисел, кратных 17 = (a_150 - a_1) / 17 + 1.

Если количество чисел, кратных 17, будет равно 10, то в прогрессии будет 10 чисел, кратных 17.