Question

Разложите квадратный трехчлен на множители:   6x^2+5mx+m^2

Answer 1

Чтобы разложить квадратный трехчлен \(6x^2 + 5mx + m^2\) на множители, давайте воспользуемся тем фактом, что квадратный трехчлен \(ax^2 + bx + c\) можно представить в виде произведения двух квадратных биномов, если его дискриминант равен нулю.

Дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 6\), \(b = 5m\), и \(c = m^2\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (5m)^2 - 4(6)(m^2)\]

Упростим:

\[D = 25m^2 - 24m^2\]

\[D = m^2\]

Так как дискриминант равен \(m^2\), он равен нулю при \(m = 0\). Это означает, что при \(m = 0\) у нас есть двукратный корень, и квадратный трехчлен разлагается на множители.

Теперь мы можем записать разложение на множители, используя формулу:

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]

Где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Так как у нас есть двукратный корень, то разложение будет иметь вид:

\[6x^2 + 5mx + m^2 = 6(x - x_1)^2\]

Где \(x_1 = -\frac{b}{2a}\).

Подставим значения:

\[x_1 = -\frac{5m}{2 \cdot 6} = -\frac{5m}{12}\]

Таким образом, разложение данного квадратного трехчлена на множители:

\[6x^2 + 5mx + m^2 = 6\left(x + \frac{5m}{12}\right)^2\]