Question

У=2x^3-2,5x^2-x+2 (0;2) точки мин и мах

Answer 1

Чтобы найти минимумы и максимумы функции \( f(x) = 2x^3 - 2.5x^2 - x + 2 \), нужно найти ее производные и решить уравнения \( f'(x) = 0 \).

1. Найдем первую производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2.5x^2 - x + 2) \]

Используем правила дифференцирования:

\[ f'(x) = 6x^2 - 5x - 1 \]

2. Теперь решим уравнение \( f'(x) = 0 \):

\[ 6x^2 - 5x - 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью квадратного корня или формулы для квадратного уравнения. Формула для корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) выглядит так:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, \( a = 6, b = -5, c = -1 \).

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(6)(-1)}}{2(6)} \]

Вычисляем:

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{12} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{12} \] \[ x = \frac{5 \pm 7}{12} \]

Получаем два значения для \( x \):

\[ x_1 = \frac{12}{12} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \]

3. Теперь найдем значения функции в этих точках и на концах интервала (0, 2).

- Подставим \( x = 0, 1, -\frac{1}{6}, 2 \) в \( f(x) \):

\[ f(0) = 2(0)^3 - 2.5(0)^2 - 0 + 2 = 2 \] \[ f(1) = 2(1)^3 - 2.5(1)^2 - 1 + 2 = 0 \] \[ f\left(-\frac{1}{6}\right) = 2\left(-\frac{1}{6}\right)^3 - 2.5\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{6} + 2 \] \[ f(2) = 2(2)^3 - 2.5(2)^2 - 2 + 2 = -12 \]

Таким образом, у нас есть точки (0, 2), (1, 0), \(\left(-\frac{1}{6}, \text{значение}\right)\) и (2, -12).

4. Определим тип экстремума в найденных точках с помощью второй производной:

\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 5x - 1) = 12x - 5 \]

Определим знак \( f''(x) \) в каждой точке:

- \( f''(0) = -5 < 0 \) (максимум) - \( f''(1) = 7 > 0 \) (минимум) - \( f''\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{7}{2} < 0 \) (максимум) - \( f''(2) = 19 > 0 \) (минимум)

Итак, у нас есть две точки минимума: (1, 0) и (2, -12), и две точки максимума: (0, 2) и \(\left(-\frac{1}{6}, \text{значение}\right)\). Точное значение для \(\left(-\frac{1}{6}, \text{значение}\right)\) можно вычислить, подставив \(-\frac{1}{6}\) в функцию \( f(x) \).