Question

Даю 60 баллов. ТРИГОНОМЕТРИЯ 10 Класс. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!! ОЧЕНЬ ПРОШУ. Если не знаете ,то не пишите( Вычислите: а) tg²α+ctg²α, если tgα+ctgα=4 б) 1 - , если cosα-sinα=

Answer 1

Конечно, я готов помочь! Давайте решим задачу.

Задача а)

Дано, что \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 4 \). Мы знаем, что \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \), поэтому:

\[ \tan(\alpha) \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)} = 4 \]

Упростим выражение, умножив обе части на \( \tan(\alpha) \):

\[ 1 = 4 \tan(\alpha) \]

Теперь делим обе части на 4:

\[ \tan(\alpha) = \frac{1}{4} \]

Теперь, чтобы найти \( \tan^2(\alpha) \), возведем обе части в квадрат:

\[ \tan^2(\alpha) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]

Задача б)

Дано, что \( \cos(\alpha) - \sin(\alpha) = 1 \). Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \) и преобразить уравнение:

\[ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) = 1 \]

\[ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) - 1 = 0 \]

Теперь мы можем использовать идентичность \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \) для замены \( \cos^2(\alpha) \) в уравнении:

\[ (1 - \sin^2(\alpha)) + \sin^2(\alpha) - \sin(\alpha) - 1 = 0 \]

\[ 1 - \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) - \sin(\alpha) - 1 = 0 \]

Упростим:

\[ -\sin^2(\alpha) - \sin(\alpha) = 0 \]

Факторизуем:

\[ -\sin(\alpha) (\sin(\alpha) + 1) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения: \( \sin(\alpha) = 0 \) или \( \sin(\alpha) + 1 = 0 \).

1. Если \( \sin(\alpha) = 0 \), то \( \alpha = 0^\circ \) (так как это значение соответствует нулевому значению синуса).

2. Если \( \sin(\alpha) + 1 = 0 \), то \( \sin(\alpha) = -1 \), что соответствует \( \alpha = 270^\circ \).

Теперь мы знаем значения синуса и косинуса для этих углов:

1. Для \( \alpha = 0^\circ \): \( \cos(0^\circ) - \sin(0^\circ) = 1 - 0 = 1 \) 2. Для \( \alpha = 270^\circ \): \( \cos(270^\circ) - \sin(270^\circ) = 0 - (-1) = 1 \)

Таким образом, уравнение \( \cos(\alpha) - \sin(\alpha) = 1 \) выполняется для углов \( \alpha = 0^\circ \) и \( \alpha = 270^\circ \).