Question

Доказать 3(sin^4a+cos^4a)-2(sin^6a+cos^a)=1

Answer 1

Давайте детально рассмотрим данное уравнение и постараемся его доказать:

\[3(\sin^4 a + \cos^4 a) - 2(\sin^6 a + \cos^2 a) = 1.\]

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

\[\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \quad \text{(Тождество Пифагора)}.\]

Возводим обе части этого тождества в четвертую степень:

\[(\sin^2 a + \cos^2 a)^2 = 1.\]

Раскрываем скобки:

\[\sin^4 a + 2\sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a = 1.\]

Теперь выразим \(\sin^4 a + \cos^4 a\) через \(\sin^2 a\) и \(\cos^2 a\):

\[\sin^4 a + \cos^4 a = (1 - 2\sin^2 a \cos^2 a).\]

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

\[3(1 - 2\sin^2 a \cos^2 a) - 2(\sin^6 a + \cos^2 a) = 1.\]

Раскрываем скобки:

\[3 - 6\sin^2 a \cos^2 a - 2\sin^6 a - 2\cos^2 a = 1.\]

Теперь сгруппируем члены:

\[-2\sin^6 a - 6\sin^2 a \cos^2 a - 2\cos^2 a + 2 = 0.\]

Теперь вынесем общий множитель за скобки:

\[2(-\sin^6 a - 3\sin^2 a \cos^2 a - \cos^2 a + 1) = 0.\]

Теперь разделим на 2:

\[-\sin^6 a - 3\sin^2 a \cos^2 a - \cos^2 a + 1 = 0.\]

И, наконец, добавим к обеим сторонам уравнения \(2\sin^2 a \cos^2 a\), чтобы сделать его похожим на исходное уравнение:

\[-\sin^6 a - \cos^2 a + 1 - 3\sin^2 a \cos^2 a + 2\sin^2 a \cos^2 a = 0.\]

Теперь мы видим, что левая сторона уравнения является разностью двух квадратов:

\[-(\sin^2 a)^3 - (\cos^2 a)^2 + 2\sin^2 a \cos^2 a + 1 = 0.\]

Теперь воспользуемся тождеством \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), чтобы заменить \(\cos^2 a\) на \(\sin^2 a\):

\[-(\sin^2 a)^3 - (\sin^2 a)^2 + 2\sin^2 a \cos^2 a + 1 = 0.\]

Теперь можно сгруппировать некоторые члены:

\[-(\sin^2 a)^2 (\sin^2 a + 1) + 2\sin^2 a \cos^2 a + 1 = 0.\]

Теперь заменяем \(\cos^2 a\) на \(1 - \sin^2 a\):

\[-(\sin^2 a)^2 (\sin^2 a + 1) + 2\sin^2 a (1 - \sin^2 a) + 1 = 0.\]

Раскрываем скобки:

\[-\sin^4 a - \sin^2 a - 2\sin^4 a + 2\sin^2 a + 1 = 0.\]

Теперь объединяем подобные члены:

\[-3\sin^4 a + \sin^2 a + 1 = 0.\]

Теперь добавляем 3\(\sin^4 a\) к обеим сторонам:

\[\sin^2 a + 3\sin^4 a + 1 = 3\sin^4 a.\]

Теперь выражаем \(\sin^4 a\) через \(\sin^2 a\) и подставляем обратно в уравнение:

\[\sin^2 a + 3(1 - \sin^2 a) + 1 = 3(1 - \sin^2 a).\]

Раскрываем скобки:

\[\sin^2 a + 3 - 3\sin^2 a + 1 = 3 - 3\sin^2 a.\]

Сгруппируем члены:

\[4\sin^2 a = 3\sin^2 a.\]

Теперь делим на \(\sin^2 a\):

\[4 = 3.\]

Таким образом, мы пришли к противоречию, что означает, что исходное уравнение неверно. Таким образом, уравнение \[3(\sin^4 a + \cos^4 a) - 2(\sin^6 a + \cos^2 a) = 1\] не верно. Возможно, в уравнении есть ошибка, или оно было неправильно записано.