Question

Тема "Решение задач с помощью систем уравнений." Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь - за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5? Задача решается со слова "Пусть".  Объясните и помогите решить пожалуйста.

Answer 1

Давайте решим эту задачу. Пусть \( V \) - скорость лодки в стоячей воде, \( V_r \) - скорость течения реки, \( D \) - расстояние между пристанями.

Сначала рассмотрим движение лодки по течению. Скорость лодки в этом случае будет равна сумме её скорости в стоячей воде и скорости течения:

\[ V_{\text{течение}} = V + V_r \]

Лодка проходит расстояние \( D \) за 4 часа, поэтому можно записать уравнение:

\[ D = 4 \cdot (V + V_r) \]

Теперь рассмотрим обратное движение лодки против течения. Скорость лодки в этом случае будет равна разности её скорости в стоячей воде и скорости течения:

\[ V_{\text{обратное}} = V - V_r \]

Лодка проходит расстояние \( D \) за 5 часов:

\[ D = 5 \cdot (V - V_r) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} D = 4 \cdot (V + V_r) \\ D = 5 \cdot (V - V_r) \end{cases} \]

Теперь у нас есть дополнительная информация: лодка проходит 70 км по течению за 3.5 часа. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти значение \( V \). Расстояние, которое проходит лодка по течению, равно произведению её скорости по течению на время:

\[ 70 = 3.5 \cdot (V + V_r) \]

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

\[ \begin{cases} D = 4 \cdot (V + V_r) \\ D = 5 \cdot (V - V_r) \\ 70 = 3.5 \cdot (V + V_r) \end{cases} \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для нахождения \( V \) и \( V_r \). Подставим одно уравнение в другое и решим получившееся уравнение.

\[ 4 \cdot (V + V_r) = 5 \cdot (V - V_r) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 4V + 4V_r = 5V - 5V_r \]

\[ 9V_r = V \]

Теперь подставим это в уравнение \( 70 = 3.5 \cdot (V + V_r) \):

\[ 70 = 3.5 \cdot (9V_r + V_r) \]

\[ 70 = 3.5 \cdot 10V_r \]

\[ 70 = 35V_r \]

\[ V_r = 2 \]

Теперь подставим \( V_r \) обратно в уравнение \( 9V_r = V \):

\[ 9 \cdot 2 = V \]

\[ V = 18 \]

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде \( V \) равна 18 км/ч, а скорость течения реки \( V_r \) равна 2 км/ч.