Question

Помогите решить: √2(sinπ/12-cosπ/12) должно получиться -1

Answer 1

Давайте рассмотрим выражение под корнем:

\[ \sqrt{2}(\sin(\pi/12) - \cos(\pi/12)) \]

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это выражение.

1. Начнем с углового тождества \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\):

\[ \sin(\pi/12 - \pi/4) = \sin(\pi/12)\cos(\pi/4) - \cos(\pi/12)\sin(\pi/4) \]

2. Значения \(\sin(\pi/4)\) и \(\cos(\pi/4)\) равны \(\sqrt{2}/2\), а также \(\sin(\pi/12) = \sin(\pi/4 - \pi/6)\) и \(\cos(\pi/12) = \cos(\pi/6)\):

\[ \sin(\pi/12 - \pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\pi/12) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\pi/12) \]

3. Раскроем корень из 2:

\[ \sqrt{2}(\sin(\pi/12) - \cos(\pi/12)) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\pi/12) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\pi/12) \right) \]

4. Упростим:

\[ \sqrt{2}(\sin(\pi/12) - \cos(\pi/12)) = \sin(\pi/12) - \cos(\pi/12) \]

5. Теперь мы можем использовать тригонометрические значения углов \(\pi/12\) и \(\pi/6\), которые равны \((\sqrt{6} - \sqrt{2})/4\) и \(\sqrt{3}/2\) соответственно:

\[ \sin(\pi/12) - \cos(\pi/12) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \]

6. Общий знаменатель:

\[ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{4} \]

7. Умножим на \(\sqrt{2}\):

\[ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{4} - 4\sqrt{6}}{4} \]

8. Упростим числители:

\[ \frac{\sqrt{12} - \sqrt{4} - 4\sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{3} - 2 - 4\sqrt{6}}{4} \]

9. Сократим на 2:

\[ \frac{2\sqrt{3} - 2 - 4\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 1 - 2\sqrt{6}}{2} \]

Таким образом, \(\sqrt{2}(\sin(\pi/12) - \cos(\pi/12))\) не равно -1. Возможно, в вашем выражении есть ошибка или недоразумение. Пожалуйста, уточните условие задачи или предоставьте более подробную информацию.