Question

Решить дифференциальное уравнение:, y’tgx=y+1 если х= pi\6 y=-1\2

Answer 1

Конечно, давай разберем это дифференциальное уравнение по шагам.

У нас дано дифференциальное уравнение: \(y' \cdot \tan(x) = y + 1\), при \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(y = -\frac{1}{2}\).

1. Начнем с общего решения уравнения. Сначала выразим \(y'\):

\[y' = \frac{y + 1}{\tan(x)}\]

2. Теперь это уравнение можно решить методом разделения переменных. Разделим переменные \(y\) и \(x\):

\[\frac{dy}{dx} = \frac{y + 1}{\tan(x)}\]

3. Перенесем все члены, связанные с \(y\) в одну часть, а все члены, связанные с \(x\), в другую:

\[\frac{dy}{y + 1} = \frac{\tan(x)}{dx}\]

4. Проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[\int \frac{1}{y + 1} \,dy = \int \tan(x) \,dx\]

5. Выполним интегрирование:

\[\ln|y + 1| = -\ln|\cos(x)| + C\]

\(C\) здесь - постоянная интеграции.

6. Применим экспоненту к обеим сторонам:

\[|y + 1| = \frac{1}{|\cos(x)|} \cdot e^C\]

7. Для простоты предположим, что \(e^C\) это новая константа \(K\), тогда:

\[|y + 1| = \frac{K}{|\cos(x)|}\]

8. Теперь учтем начальные условия \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(y = -\frac{1}{2}\). При \(x = \frac{\pi}{6}\), \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:

\[|-\frac{1}{2} + 1| = \frac{K}{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{K}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[K = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, итоговое решение уравнения будет:

\[|y + 1| = \frac{\sqrt{3}}{|\cos(x)|}\]

При условии, что \(y = -1/2\) при \(x = \pi/6\).