Question

4cos^2x+sinxcosx+3sin^2-3=0

Answer 1

Давайте разберемся с уравнением:

\[4\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) + 3\sin^2(x) - 3 = 0.\]

Для удобства, давайте обозначим \(\cos(x)\) как \(a\) и \(\sin(x)\) как \(b\). Тогда уравнение становится:

\[4a^2 + ab + 3b^2 - 3 = 0.\]

Теперь давайте попробуем решить это квадратное уравнение относительно \(a\):

\[4a^2 + ab + 3b^2 - 3 = 0.\]

Решение квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) может быть найдено с использованием формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac.\]

Если \(D > 0\), у уравнения есть два корня; если \(D = 0\), у уравнения есть один корень; если \(D < 0\), у уравнения нет реальных корней.

В нашем случае:

\[a = 4, \quad b = 1, \quad c = 3b^2 - 3 = 3 - 3 = 0.\]

Теперь вычислим дискриминант:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 0 = 1.\]

Поскольку \(D > 0\), у уравнения есть два реальных корня.

Теперь используем формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

\[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

В нашем случае:

\[a_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 1}{8}.\]

Таким образом, у нас есть два корня:

\[a_1 = \frac{-1 + 1}{8} = 0,\]

\[a_2 = \frac{-1 - 1}{8} = -\frac{1}{4}.\]

Теперь, зная значения \(a\), мы можем вернуться к выражению в тригонометрических функциях:

\[\cos(x) = a.\]

Таким образом, у нас есть два значения для \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = 0\). 2. \(\cos(x) = -\frac{1}{4}\).

Теперь мы можем найти соответствующие значения для \(\sin(x)\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

1. Для \(\cos(x) = 0\), \(\sin^2(x) = 1 - 0^2 = 1\), следовательно, \(\sin(x) = \pm 1\).

2. Для \(\cos(x) = -\frac{1}{4}\), \(\sin^2(x) = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{15}{16}\), следовательно, \(\sin(x) = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}\).

Таким образом, у уравнения \[4\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) + 3\sin^2(x) - 3 = 0\] есть четыре решения:

1. \(\cos(x) = 0, \sin(x) = 1\), 2. \(\cos(x) = 0, \sin(x) = -1\), 3. \(\cos(x) = -\frac{1}{4}, \sin(x) = \frac{\sqrt{15}}{4}\), 4. \(\cos(x) = -\frac{1}{4}, \sin(x) = -\frac{\sqrt{15}}{4}\).