Question

30б.Вычислите интеграл от 1 до 2 (3x^2-4x-2/x^2)dx

Answer 1

Конечно, интегрирование функции \( \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} \) от \(1\) до \(2\) даст нам значение определенного интеграла.

Для начала, разложим \( \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} \) на части:

\[ \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} = 3 - \frac{4}{x} - \frac{2}{x^2} \]

Теперь найдем интеграл каждого слагаемого отдельно:

1. Интеграл от \(3\) по переменной \(x\) от \(1\) до \(2\):

\[ \int_{1}^{2} 3 \, dx = 3x \Big|_{1}^{2} = 3(2) - 3(1) = 6 - 3 = 3 \]

2. Интеграл от \( \frac{4}{x} \) по переменной \(x\) от \(1\) до \(2\):

\[ \int_{1}^{2} \frac{4}{x} \, dx = 4 \ln|x| \Big|_{1}^{2} = 4\ln|2| - 4\ln|1| = 4\ln(2) - 0 = 4\ln(2) \]

3. Интеграл от \( \frac{2}{x^2} \) по переменной \(x\) от \(1\) до \(2\):

\[ \int_{1}^{2} \frac{2}{x^2} \, dx = -2x^{-1} \Big|_{1}^{2} = -2\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{1}{1}\right) = -1 + 2 = 1 \]

Теперь сложим результаты интегрирования каждого слагаемого:

\[ \int_{1}^{2} \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} \, dx = 3 + 4\ln(2) + 1 = 4\ln(2) + 4 \approx 6.7726 \]

Итак, значение определенного интеграла \( \int_{1}^{2} \frac{3x^2 - 4x - 2}{x^2} \, dx \) равно примерно \(6.7726\).