Question

Решить уравнение 2/х+х/2=х/3+3/х

Answer 1

Для решения уравнения \( \frac{2}{x} + \frac{x}{2} = \frac{x}{3} + \frac{3}{x} \), давайте приведем все дроби к общему знаменателю и решим полученное уравнение.

Общий знаменатель для дробей \( x, 2, \) и \( 3 \) - это \( 6x \). Умножим каждую дробь на соответствующий множитель:

\[ \frac{2}{x} \cdot \frac{6x}{6x} + \frac{x}{2} \cdot \frac{6x}{6x} = \frac{x}{3} \cdot \frac{6x}{6x} + \frac{3}{x} \cdot \frac{6x}{6x} \]

Упростим числители:

\[ \frac{12}{1} + \frac{3x^2}{2} = \frac{2x^2}{3} + \frac{18}{1} \]

Теперь объединим дроби:

\[ \frac{12 + 3x^2}{1} = \frac{2x^2 + 18}{3} \]

Переносим все члены уравнения в одну дробь:

\[ \frac{12 + 3x^2}{1} - \frac{2x^2 + 18}{3} = 0 \]

Умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

\[ 3(12 + 3x^2) - (2x^2 + 18) = 0 \]

Распределим множители:

\[ 36 + 9x^2 - 2x^2 - 18 = 0 \]

Сгруппируем члены:

\[ 7x^2 + 18 = 0 \]

Теперь приведем уравнение к стандартной квадратной форме:

\[ 7x^2 + 18 = 0 \]

Вычитаем 18 из обеих сторон:

\[ 7x^2 = -18 \]

Делим обе стороны на 7:

\[ x^2 = -\frac{18}{7} \]

Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как правая сторона отрицательна. Однако, если рассматривать комплексные числа, то решение будет:

\[ x = \pm i \sqrt{\frac{18}{7}} \]

Таким образом, уравнение имеет два комплексных корня.