Question

Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 15 см, а расстояние от точки пересечения медиан до боковой стороны равно 8.

Answer 1

Для нахождения площади равнобедренного треугольника с известной высотой, опущенной на основание, и известным расстоянием от точки пересечения медиан до боковой стороны, мы можем воспользоваться следующими свойствами.

Обозначим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC (основание) и AD - высота, опущенная на основание (AD = 15 см). Пусть M - точка пересечения медиан (точка пересечения медиан совпадает с центром тяжести), а MD равно 8 см (расстояние от точки пересечения медиан до боковой стороны).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то MD является медианой, а значит, MD делит основание AC пополам. Таким образом, AM = MC.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AMD, где AM = MC, MD = 8 см, и AD = 15 см.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины боковых сторон треугольника AMD:

\[ AM^2 + MD^2 = AD^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AM^2 + 8^2 = 15^2 \]

\[ AM^2 + 64 = 225 \]

\[ AM^2 = 161 \]

\[ AM = \sqrt{161} \]

Теперь мы знаем длину боковой стороны треугольника AMD. Поскольку AM = MC, то BC = 2 * AM.

\[ BC = 2 \sqrt{161} \]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, можно воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \]

Подставим известные значения:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{161} \cdot 15 \]

\[ S_{ABC} = 15 \sqrt{161} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника ABC равна \(15 \sqrt{161} \, \text{см}^2\).