Question

найдите площадь полной поверхности правильной треуголной пирамиды,если двугранный угол при стороне основания равен 30, а радиус окружности, описанной около основания, равен 2

Answer 1

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам понадобятся два параметра: длина стороны основания и высота пирамиды. Однако в данном вопросе нам даны другие параметры: двугранный угол при стороне основания и радиус окружности, описанной около основания. Давайте разберемся, как найти площадь полной поверхности пирамиды с использованием этих параметров.

Нахождение высоты пирамиды

Сначала нам понадобится найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой синусов. В правильной треугольной пирамиде, высота пирамиды будет являться биссектрисой основания.

Для нахождения высоты пирамиды, нам необходимо знать радиус окружности, описанной около основания, и двугранный угол при стороне основания. Давайте обозначим радиус окружности как R и двугранный угол как α.

Двугранный угол: В данном случае, двугранный угол при стороне основания равен 30 градусам.

Радиус окружности: Радиус окружности, описанной около основания, равен 2.

Используя теорему синусов, мы можем найти высоту пирамиды h:

sin(α/2) = r / R

где r - радиус вписанной окружности и R - радиус описанной окружности.

В нашем случае, r = R/2, так как вписанная окружность является описанной окружностью для основания пирамиды.

sin(α/2) = (R/2) / R = 1/2

Зная sin(α/2), мы можем найти α/2, используя обратную функцию синуса:

α/2 = arcsin(1/2) = 30 градусов

Таким образом, двугранный угол α равен 60 градусам.

Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения высоты пирамиды:

sin(α) = h / R

sin(60) = h / 2

√3/2 = h / 2

h = √3

Таким образом, высота пирамиды равна √3.

Нахождение площади полной поверхности пирамиды

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем найти площадь полной поверхности.

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

S = Sосн + Sбок,

где Sосн - площадь основания пирамиды, а Sбок - площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь основания пирамиды: Правильная треугольная пирамида имеет треугольное основание. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

Sосн = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

где a, b и c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника, который можно найти как (a + b + c) / 2.

В нашем случае, длина стороны треугольника равна 2R, так как радиус окружности, описанной около основания, равен 2.

a = b = c = 2R

p = (2R + 2R + 2R) / 2 = 3R

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды:

Sосн = √(3R(3R-2R)(3R-2R)(3R-2R)) = √(3R^3) = R√3R^2 = √3R^2

Площадь боковой поверхности пирамиды: Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

Sбок = (1/2) * p * l,

где p - периметр основания пирамиды, а l - высота пирамиды.

В нашем случае, периметр основания равен 3 * 2R = 6R, а высота пирамиды равна √3.

Sбок = (1/2) * 6R * √3 = 3R√3

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

S = Sосн + Sбок = √3R^2 + 3R√3

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна √3R^2 + 3R√3