Question

Решите уравнение пж, а то сдохну Log3 x^2 - log3 x/x+6=3

Answer 1

Давайте решим уравнение по шагам:

\[\log_3{x^2} - \frac{\log_3{x}}{x + 6} = 3.\]

1. Начнем с объединения логарифмов в один. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов:

\[\log_3{x^2} - \log_3{(x/(x + 6))} = 3.\]

2. Теперь используем свойство деления логарифмов: \(\log_a{(b/c)} = \log_ab - \log_ac\):

\[\log_3{\left(\frac{x^2}{\frac{x}{x + 6}}\right)} = 3.\]

3. Упростим числитель:

\[\log_3{\left(\frac{x^2(x + 6)}{x}\right)} = 3.\]

4. Используем свойство логарифма \(\log_a{b} = c\) равносильно \(a^c = b\):

\[3^3 = \frac{x^2(x + 6)}{x}.\]

5. Упростим правую часть:

\[27 = \frac{x^2(x + 6)}{x}.\]

6. Умножим обе стороны на \(x\) для избавления от дроби:

\[27x = x^2(x + 6).\]

7. Приведем уравнение к квадратному виду:

\[x^2(x + 6) - 27x = 0.\]

8. Решим это квадратное уравнение.

\[x(x + 6) - 27 = 0.\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + 6x - 27 = 0.\]

9. Теперь найдем корни уравнения, например, используя квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В данном случае, \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -27\). Подставим значения:

\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-27)}}{2(1)}.\]

\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}.\]

\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2}.\]

\[x = \frac{-6 \pm 12}{2}.\]

10. Получаем два значения:

\[x_1 = \frac{-6 + 12}{2} = 3.\]

\[x_2 = \frac{-6 - 12}{2} = -9.\]

Итак, уравнение \(\log_3{x^2} - \frac{\log_3{x}}{x + 6} = 3\) имеет два решения: \(x = 3\) и \(x = -9\). Проверим оба значения, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы удостовериться, что они удовлетворяют уравнению.