Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у= - х^2+2x+3 a) на отрезке [0;2] б)на луче(от - бесконечности ;1] в)на отрезке[1;2] г)на луче[0;до + бесконечности)

Answer 1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у = -х^2 + 2х + 3 на заданных интервалах, мы можем использовать методы дифференциального исчисления и анализа функции. Для начала, давайте найдем критические точки, где производная функции равна нулю или не существует, а также точки перегиба, где вторая производная функции равна нулю или не существует.

Нахождение критических точек:

Для этого, вычислим производную функции у и найдем ее корни:

у' = -2х + 2

Для нахождения корней, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-2х + 2 = 0

2х = 2

х = 1

Таким образом, у = -х^2 + 2х + 3 имеет критическую точку при х = 1.

Нахождение точек перегиба:

Для этого, найдем вторую производную функции у и найдем ее корни:

у'' = -2

Поскольку у'' = -2 является постоянным значением, то функция у = -х^2 + 2х + 3 не имеет точек перегиба.

Ответы для каждого интервала:

а) На отрезке [0;2]:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [0;2], нам нужно сравнить значения функции в концах отрезка и в критической точке:

у(0) = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3

у(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -1

у(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0;2] равно 4, а наименьшее значение равно -1.

б) На луче (от -бесконечности;1]:

Для нахождения наибольшего значения функции на луче (от -бесконечности;1], мы можем рассмотреть поведение функции при стремлении аргумента к -бесконечности:

lim (х->-бесконечность) у(х) = -бесконечность

Таким образом, на луче (от -бесконечности;1] функция у = -х^2 + 2х + 3 не имеет наибольшего значения.

в) На отрезке [1;2]:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке [1;2], нам нужно сравнить значения функции в концах отрезка и в критической точке:

у(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4

у(2) = -(2)^2 + 2(2) + 3 = -1

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1;2] равно -1.

г) На луче [0;до бесконечности):

Для нахождения наибольшего значения функции на луче [0;до бесконечности), мы можем рассмотреть поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности:

lim (х->бесконечность) у(х) = -бесконечность

Таким образом, на луче [0;до бесконечности) функция у = -х^2 + 2х + 3 не имеет наибольшего значения.

Резюме:

- Наибольшее значение функции у = -х^2 + 2х + 3 на отрезке [0;2] равно 4. - Наименьшее значение функции у = -х^2 + 2х + 3 на отрезке [0;2] равно -1. - Наибольшее значение функции у = -х^2 + 2х + 3 на луче (от -бесконечности;1] не существует. - Наименьшее значение функции у = -х^2 + 2х + 3 на отрезке [1;2] равно -1. - Наибольшее значение функции у = -х^2 + 2х + 3 на луче [0;до бесконечности) не существует.