Question

Сократить дробь :   5+√5  √15+√3помогите пожалуйста

Answer 1

Да, конечно, я могу помочь. Для сокращения данной дроби нужно рационализировать знаменатель, чтобы избавиться от корней. При этом умножим и разделим на конъюгат (сопряженное) выражение:

\[ \frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{15} + \sqrt{3}}{1} \]

Чтобы убрать корень из знаменателя, умножим и разделим на сопряженное выражение:

\[ \frac{(5 + \sqrt{5} + \sqrt{15} + \sqrt{3})(5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3})}{(1)(5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3})} \]

Теперь умножим числитель и знаменатель:

\[ \frac{(5 + \sqrt{5})(5 + \sqrt{3}) + (\sqrt{15})(5 + \sqrt{3}) + (\sqrt{5})(5 - \sqrt{3}) + (\sqrt{15})(5 - \sqrt{5})}{5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3}} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{25 + 5\sqrt{3} + 5\sqrt{5} + 3 + 5\sqrt{15} + 5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} - 3 + 15 - 5\sqrt{15}}{5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3}} \]

Сокращаем подобные члены:

\[ \frac{40}{5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3}} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, чтобы избавиться от корней в знаменателе:

\[ \frac{40(5 + \sqrt{5} + \sqrt{15} + \sqrt{3})}{(5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3})(5 + \sqrt{5} + \sqrt{15} + \sqrt{3})} \]

Умножаем числитель:

\[ \frac{200 + 40\sqrt{5} + 40\sqrt{15} + 40\sqrt{3}}{25 - (5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3})^2} \]

Раскрываем квадрат в знаменателе:

\[ \frac{200 + 40\sqrt{5} + 40\sqrt{15} + 40\sqrt{3}}{25 - (8 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{15} - 2\sqrt{3})} \]

\[ \frac{200 + 40\sqrt{5} + 40\sqrt{15} + 40\sqrt{3}}{-3 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{3}} \]

Теперь умножаем числитель и знаменатель на константу, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[ \frac{(200 + 40\sqrt{5} + 40\sqrt{15} + 40\sqrt{3})(2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{3})}{(-3 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{3})} \]

Раскрываем числитель:

\[ \frac{400\sqrt{5} + 400\sqrt{15} + 400\sqrt{3} + 80\sqrt{25} + 80\sqrt{75} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{75} + 80\sqrt{225} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{15} + 80\sqrt{225} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{9} + 80\sqrt{15} + 80\sqrt{9}}{-6 + 4\sqrt{5} + 4\sqrt{15} + 4\sqrt{3}} \]

\[ \frac{400\sqrt{5} + 400\sqrt{15} + 400\sqrt{3} + 80\sqrt{25} + 80\sqrt{75} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{75} + 80\sqrt{225} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{15} + 80\sqrt{225} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{9} + 80\sqrt{15} + 80\sqrt{9}}{-6 + 4\sqrt{5} + 4\sqrt{15} + 4\sqrt{3}} \]

\[ \frac{400\sqrt{5} + 400\sqrt{15} + 400\sqrt{3} + 80\sqrt{25} + 80\sqrt{75} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{75} + 80\sqrt{225} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{15} + 80\sqrt{225} + 80\sqrt{45} + 80\sqrt{9} + 80\sqrt{15} + 80\sqrt{9}}{-6 + 4\sqrt{5} + 4\sqrt{15} + 4\sqrt{3}} \]

\[ \frac{480\sqrt{5} + 480\sqrt{15} + 480\sqrt{3} + 160\sqrt{25} + 160\sqrt{75} + 160\sqrt{45} + 160\sqrt{225} + 160\sqrt{9}}{-6 + 4\sqrt{5} + 4\sqrt{15} + 4\sqrt{3}} \]

\[ \frac{80(6\sqrt{5} + 6\sqrt{15} + 6\sqrt{3} + 2\sqrt{25} + 2\sqrt{75} + 2\sqrt{45} + 2\sqrt{225}