Question

Используя схематическое изображение графика ,найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=2/x^2

Answer 1

Для анализа возрастания и убывания функции \(f(x) = \frac{2}{x^2}\), давайте начнем с построения схематического графика этой функции.

График функции \(f(x) = \frac{2}{x^2}\) имеет следующие особенности: 1. Функция не определена в точке \(x = 0\), так как деление на ноль невозможно. 2. Функция симметрична относительно оси \(y\), так как \(f(x) = f(-x)\). 3. При \(x \neq 0\) значение функции положительно, так как числитель положителен, а знаменатель является квадратом \(x\).

Теперь рассмотрим производные функции \(f(x)\): \[f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x^2}\right)\]

Чтобы найти производную, применим правило дифференцирования частного: \[f'(x) = \frac{-4}{x^3}\]

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: \[\frac{-4}{x^3} = 0\]

Это уравнение не имеет решений, так как числитель всегда отрицателен, и знаменатель всегда положителен.

Таким образом, у нас нет критических точек, и производная всегда отрицательна при \(x \neq 0\).

Итак, наше исследование показывает, что: - Функция \(f(x) = \frac{2}{x^2}\) возрастает на интервалах \((- \infty, 0)\) и \((0, + \infty)\). - Функция убывает на интервале \((-\infty, 0)\cup (0, +\infty)\).

Однако, учтите, что функция не определена в точке \(x = 0\), и в этой точке есть вертикальная асимптота. Важно учитывать эти особенности при анализе графика функции.