Question

Решите уравнение 2 * 4^x - 5*2^ x +2 = 0

Answer 1

Чтобы решить данное уравнение, мы можем использовать алгебраические методы и свойства экспонент и логарифмов.

Шаг 1: Приведение подобных членов Начнем с приведения подобных членов в уравнении. У нас есть два слагаемых с переменными в основании степени: 4^x и 2^x. Оба слагаемых можно записать с общим основанием 2, так как 4 = 2^2. Теперь у нас есть уравнение: 2 * (2^2)^x - 5 * 2^x + 2 = 0.

Шаг 2: Замена переменных Для упрощения расчетов мы можем ввести новую переменную. Обозначим z = 2^x. У нас получится новое уравнение: 2 * z^2 - 5 * z + 2 = 0.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся стандартной формулой для решения квадратного уравнения: z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В нашем случае: a = 2, b = -5, c = 2.

Применяя формулу, получим: z = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2) = (5 ± √(25 - 16)) / 4 = (5 ± √9) / 4.

Итак, у нас есть два возможных значения для z: z1 = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2, z2 = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5.

Шаг 4: Нахождение x Теперь мы можем найти значения x, используя полученные значения z.

Для z1 = 2: 2 = 2^x. Применяя логарифмы с основанием 2 к обеим сторонам уравнения, получаем: log2(2) = log2(2^x), 1 = x.

Для z2 = 0.5: 0.5 = 2^x. Применяя логарифмы с основанием 2 к обеим сторонам уравнения, получаем: log2(0.5) = log2(2^x), -1 = x.

Итак, уравнение имеет два решения: x = 1 и x = -1.