Question

На координатной плоскости даны точки А(2;7),В(6;4),С(7;1) и D(-2;1). Постройте точку М пересечения прямых АВ и СD,и точку N пересечения прямых АD и ВС и запишите их координаты.

Answer 1

Для начала, найдем уравнения прямых, проходящих через заданные точки.

Уравнение прямой через две точки \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) можно найти, используя формулу для уравнения прямой в общем виде \(y = mx + c\), где \(m\) - это коэффициент наклона, а \(c\) - это y-перехват.

1. Прямая \(AB\) через точки \(A(2;7)\) и \(B(6;4)\):

Сначала найдем коэффициент наклона \(m\):

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\] \[m = \frac{4 - 7}{6 - 2} = \frac{-3}{4}\]

Теперь используем координаты одной из точек, например, \(A(2;7)\), чтобы найти \(c\):

\[y = mx + c\] \[7 = \frac{-3}{4} \cdot 2 + c\] \[7 = -\frac{3}{2} + c\] \[c = 7 + \frac{3}{2} = \frac{17}{2}\]

Уравнение прямой \(AB\) будет:

\[y = -\frac{3}{4}x + \frac{17}{2}\]

2. Прямая \(CD\) через точки \(C(7;1)\) и \(D(-2;1)\):

Найдем коэффициент наклона \(m\):

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\] \[m = \frac{1 - 1}{-2 - 7} = 0\]

Так как коэффициент наклона равен нулю, прямая параллельна оси x и уравнение будет иметь вид \(y = c\), где \(c\) - это значение y в любой из точек. В данном случае, точка \(C(7;1)\), поэтому уравнение прямой \(CD\) будет:

\[y = 1\]

Теперь найдем точку пересечения прямых \(AB\) и \(CD\), обозначим ее как \(M(x, y)\).

Чтобы найти \(x\) и \(y\) для точки \(M\), приравняем уравнения прямых \(AB\) и \(CD\):

\[-\frac{3}{4}x + \frac{17}{2} = 1\] \[-\frac{3}{4}x = 1 - \frac{17}{2}\] \[-\frac{3}{4}x = \frac{2}{2} - \frac{17}{2}\] \[-\frac{3}{4}x = -\frac{15}{2}\] \[x = (-\frac{15}{2}) \times (-\frac{4}{3}) = 10\]

Подставим \(x = 10\) в уравнение прямой \(AB\), чтобы найти \(y\):

\[y = -\frac{3}{4} \cdot 10 + \frac{17}{2}\] \[y = -\frac{30}{4} + \frac{17}{2}\] \[y = -\frac{30}{4} + \frac{34}{4}\] \[y = \frac{4}{4}\] \[y = 1\]

Таким образом, координаты точки \(M\) - \(M(10;1)\).

Теперь найдем точку пересечения прямых \(AD\) и \(BC\), обозначим ее как \(N(x, y)\).

Уравнение прямой \(AD\) уже было найдено как \(y = 1\), а уравнение прямой \(BC\) мы получили ранее как \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{17}{2}\).

Подставим \(y = 1\) из уравнения прямой \(AD\) в уравнение прямой \(BC\):

\[1 = -\frac{3}{4}x + \frac{17}{2}\] \[-\frac{3}{4}x = 1 - \frac{17}{2}\] \[-\frac{3}{4}x = \frac{2}{2} - \frac{17}{2}\] \[-\frac{3}{4}x = -\frac{15}{2}\] \[x = (-\frac{15}{2}) \times (-\frac{4}{3}) = 10\]

Подставим \(x = 10\) обратно в уравнение прямой \(AD\), чтобы найти \(y\):

\[y = 1\]

Таким образом, координаты точки \(N\) - \(N(10;1)\).

Итак, точки \(M\) и \(N\) имеют одинаковые координаты и равны \(M(10;1)\) и \(N(10;1)\).