Question

Решите уравнение (x-1)^2+|x-1|-2=0

Answer 1

Для решения уравнения $(x-1)^2 |x-1|-2=0$ нужно сначала разбить его на два случая, в зависимости от знака модуля $|x-1|$.

Случай 1: $x-1 \geq 0$, тогда $|x-1| = x-1$ и уравнение принимает вид $(x-1)^3 - 2 = 0$. Решая это уравнение, получаем единственный действительный корень $x = 1 + \sqrt[3]{2}$.

Случай 2: $x-1 < 0$, тогда $|x-1| = -(x-1)$ и уравнение принимает вид $(x-1)^2 (1-x) - 2 = 0$. Раскрывая скобки, получаем кубическое уравнение $-x^3 + 3x^2 - 4x + 2 = 0$. Решая это уравнение, получаем два действительных корня $x = 1 - \sqrt[3]{2}$ и $x = 2$.

Проверяя корни на соответствие условиям модуля, видим, что корень $x = 2$ не подходит, так как при нем $x-1 > 0$, а мы рассматривали случай $x-1 < 0$. Таким образом, отбрасываем этот корень.

Итого, уравнение имеет два действительных корня: $x = 1 + \sqrt[3]{2}$ и $x = 1 - \sqrt[3]{2}$. Это можно также проверить графически, построив функцию $y = (x-1)^2 |x-1| - 2$ и найдя точки пересечения с осью $x$. На графике видно, что функция имеет два нуля при указанных значениях $x$.