Question

Найдите минимум функции g(x) = 3x^5 – 5x^3

Answer 1

Конечно, чтобы найти минимум функции \( g(x) = 3x^5 - 5x^3 \), нужно использовать дифференциальное исчисление. Минимум функции соответствует точке, где её производная равна нулю.

1. Начнем с нахождения производной функции \( g(x) \): \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3) \]

Для этого используем правило дифференцирования степенной функции и вычитания константы: \[ g'(x) = 15x^4 - 15x^2 \]

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить потенциальные минимумы: \[ 15x^4 - 15x^2 = 0 \]

3. Факторизуем выражение: \[ 15x^2(x^2 - 1) = 0 \]

Это уравнение будет равно нулю, когда либо \(15x^2 = 0\) (только при \(x = 0\)), либо \(x^2 - 1 = 0\), что дает \(x = 1\) и \(x = -1\).

4. Теперь нам нужно проверить эти точки на минимум, максимум или плато, используя вторую производную: \[ g''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(3x^5 - 5x^3) \]

\[ g''(x) = \frac{d}{dx}(15x^4 - 15x^2) = 60x^3 - 30x \]

Теперь мы можем подставить \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = -1\) во вторую производную для определения поведения функции в этих точках.

- \( x = 0 \): \( g''(0) = 0 \) (не даёт информации о минимуме или максимуме). - \( x = 1 \): \( g''(1) = 60(1)^3 - 30(1) = 60 - 30 = 30 \) (положительное значение, указывающее на локальный минимум). - \( x = -1 \): \( g''(-1) = 60(-1)^3 - 30(-1) = -60 + 30 = -30 \) (отрицательное значение, указывающее на локальный максимум).

Итак, минимум функции \( g(x) = 3x^5 - 5x^3 \) находится при \( x = 1 \), где \( g(1) = 3 \cdot 1^5 - 5 \cdot 1^3 = 3 - 5 = -2 \).