Question

Какая из данных прямых не имеет общих точек с параболой y = x^2 +4x +3 1) x = 4; 2) y = 4x + 3; 3) y = 4x - 5; 4) y = 5x + 5​

Answer 1

Давайте рассмотрим каждый вариант по отдельности и определим, имеют ли они общие точки с параболой \(y = x^2 + 4x + 3\).

1) Уравнение \(x = 4\): Это уравнение задает вертикальную линию, проходящую через точку (4, 0). Парабола также проходит через эту точку, так что у них есть общая точка.

2) Уравнение \(y = 4x + 3\): Это уравнение задает прямую с наклоном 4 и y-интерсептом 3. Чтобы определить, есть ли общие точки с параболой, нужно решить систему уравнений \(y = x^2 + 4x + 3\) и \(y = 4x + 3\). Подставим второе уравнение в первое и получим квадратное уравнение: \[x^2 + 4x + 3 = 4x + 3\] Упростим: \[x^2 = 0\] Это уравнение имеет единственное решение \(x = 0\). Подставим это значение в уравнение \(y = 4x + 3\) и получим \(y = 3\). Таким образом, у них есть общая точка (0, 3).

3) Уравнение \(y = 4x - 5\): Это уравнение задает прямую с наклоном 4 и y-интерсептом -5. Повторим процедуру решения системы уравнений, подставив второе уравнение в уравнение параболы: \[x^2 + 4x + 3 = 4x - 5\] \[x^2 + 3 = -5\] Это уравнение не имеет решений в действительных числах, следовательно, прямая \(y = 4x - 5\) не имеет общих точек с параболой.

4) Уравнение \(y = 5x + 5\): Это уравнение задает прямую с наклоном 5 и y-интерсептом 5. Проведем аналогичные шаги: \[x^2 + 4x + 3 = 5x + 5\] \[x^2 - x - 2 = 0\] Решим это квадратное уравнение, например, используя квадратное уравнение: \[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\] Получаем два решения: \(x = 2\) и \(x = -1\). Подставим их в уравнение прямой \(y = 5x + 5\) и получим соответственно точки (2, 15) и (-1, 0). Таким образом, у них есть две общие точки.

Итак, только прямая \(y = 4x - 5\) не имеет общих точек с параболой \(y = x^2 + 4x + 3\).