Question

Cos 5x = cos 7x  

Answer 1

Уравнение \( \cos(5x) = \cos(7x) \) можно решить, используя тригонометрические тождества и свойства функций. Давайте разберемся пошагово.

1. Используем тригонометрическое тождество:

\[ \cos(A) = \cos(B) \implies A = 2\pi n \pm B \] где \( n \) - целое число.

2. Применим это тождество к нашему уравнению:

\[ 5x = 2\pi n \pm 7x \]

Теперь решим относительно \( x \).

3. Разберем случай с плюсом:

\[ 5x = 2\pi n + 7x \]

Выразим \( x \):

\[ 5x - 7x = 2\pi n \]

\[ -2x = 2\pi n \]

\[ x = -\pi n \]

4. Разберем случай с минусом:

\[ 5x = 2\pi n - 7x \]

Выразим \( x \):

\[ 5x + 7x = 2\pi n \]

\[ 12x = 2\pi n \]

\[ x = \frac{\pi n}{6} \]

Таким образом, общее решение уравнения \( \cos(5x) = \cos(7x) \) выглядит следующим образом:

\[ x = -\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi n}{6} \]

где \( n \) - целое число.