Question

Найдите разность наименьшего и наибольшего целых решений неравенства x- (4 корня из x) - 5 < или = 0

Answer 1

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

У нас есть неравенство: \(x - (4\sqrt{x}) - 5 \leq 0\)

1. Давайте перепишем его в виде \(x - 4\sqrt{x} - 5 \leq 0\).

2. Теперь давайте проведем замену переменной: обозначим \(y = \sqrt{x}\). Тогда \(x = y^2\). Подставим это обратно в исходное неравенство:

\(y^2 - 4y - 5 \leq 0\)

3. Решим квадратное уравнение: \(y^2 - 4y - 5 = 0\).

\((y - 5)(y + 1) \leq 0\)

Таким образом, получаем два значения \(y\): \(y = 5\) и \(y = -1\).

4. Нам нужно учесть, что \(y = \sqrt{x}\). Так как корень не может быть отрицательным числом (так как мы рассматриваем действительные числа), то \(y = -1\) не подходит. Таким образом, \(y = 5\).

5. Теперь найдем соответствующие значения \(x\):

\(y = \sqrt{x}\) \(5 = \sqrt{x}\)

Возводим обе стороны уравнения в квадрат: \(5^2 = x\) \(25 = x\)

Таким образом, у нас есть единственное решение неравенства \(x - 4\sqrt{x} - 5 \leq 0\), которое равно \(x = 25\).

Теперь давайте найдем разность наименьшего и наибольшего целых решений.

Наименьшее целое решение: \(x = 25\)

Наибольшее целое решение: Корень из \(x\) не может быть отрицательным, иначе решение станет комплексным. Таким образом, наибольшее целое решение - это следующее целое число перед 25, то есть \(x = 24\).

Итак, разность наибольшего и наименьшего целых решений будет:

\(\text{Разность} = 24 - 25 = -1\)

Таким образом, разность наименьшего и наибольшего целых решений неравенства \(x - (4\sqrt{x}) - 5 \leq 0\) равна \(-1\).