Question

Найдите наибольшое значение функции y(x)=17:(2x²+12x+23)

Answer 1

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y(x) = \frac{17}{2x^2 + 12x + 23}\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Начнем с того, что у нас есть дробь, и ее значение будет максимальным, когда знаменатель минимальный. Так как дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) равен \(D = b^2 - 4ac\), мы можем использовать его для определения минимального значения знаменателя.

Для нашего случая \(2x^2 + 12x + 23\), коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны соответственно \(2\), \(12\) и \(23\). Теперь рассчитаем дискриминант:

\[D = 12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 23\]

Рассчитаем:

\[D = 144 - 184 = -40\]

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение \(2x^2 + 12x + 23 = 0\) не имеет корней, и его значение не может быть равно нулю. Таким образом, минимальное значение знаменателя равно \(0 - 0 + 23 = 23\).

2. Теперь, чтобы максимизировать функцию \(y(x)\), нужно минимизировать значение знаменателя. Следовательно, минимальное значение знаменателя - это 23.

3. Таким образом, максимальное значение функции достигается, когда знаменатель равен минимальному значению, то есть \(23\).

4. Теперь подставим это значение обратно в исходную функцию:

\[y(x) = \frac{17}{23}\]

Поэтому наибольшее значение функции \(y(x)\) равно \(\frac{17}{23}\).