Question

Найдите критические точки функции f(x)=x^3-3x

Answer 1

Конечно, давайте разберемся с этой функцией. Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует.

Для функции \(f(x) = x^3 - 3x\) найдем производную: \[f'(x) = 3x^2 - 3.\]

Теперь приравняем \(f'(x)\) к нулю и решим уравнение: \[3x^2 - 3 = 0.\]

Вынесем общий множитель, получим: \[3(x^2 - 1) = 0.\]

Теперь решим уравнение \(x^2 - 1 = 0\): \[x^2 = 1.\]

Отсюда получаем два значения для \(x\): \(x = 1\) и \(x = -1\). Эти значения соответствуют критическим точкам функции.

Теперь вычислим вторую производную для определения характера этих точек. Возьмем производную от \(f'(x)\): \[f''(x) = 6x.\]

Теперь подставим найденные критические точки во вторую производную: \[f''(1) = 6 \cdot 1 = 6\] \[f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6\]

Если \(f''(x) > 0\), то это значит, что функция выпукла вверх и у точки есть минимум. Если \(f''(x) < 0\), то функция выпукла вниз и у точки есть максимум.

Таким образом, у точки \(x = 1\) есть локальный минимум, а у точки \(x = -1\) есть локальный максимум.

Надеюсь, это помогло! Если есть дополнительные вопросы, спрашивайте.