Question

Как решить y'y=x^3×ctgx

Answer 1

Вы хотите решить дифференциальное уравнение \(y'y = x^3 \cdot \cot(x)\). Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Исходное уравнение: \(y'y = x^3 \cdot \cot(x)\)

1. Интегрирование слева и справа: \[ \int y' \, dy = \int x^3 \cdot \cot(x) \, dx \]

2. Интегрирование слева: \[ \frac{1}{2}y'^2 = \int y' \, dy = \frac{1}{2}y^2 + C_1 \]

где \(C_1\) — постоянная интегрирования.

3. Интегрирование справа: Для интегрирования правой стороны уравнения воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Возьмем: \[ u = x^3 \quad \Rightarrow \quad du = 3x^2 \, dx \] \[ dv = \cot(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = -\ln|\sin(x)| \]

Подставим в формулу интегрирования по частям: \[ \int x^3 \cdot \cot(x) \, dx = -x^3\ln|\sin(x)| - \int -3x^2 \cdot (-\ln|\sin(x)|) \, dx \] \[ = -x^3\ln|\sin(x)| + 3\int x^2\ln|\sin(x)| \, dx \]

Теперь нам нужно решить последний интеграл.

4. Решение последнего интеграла: Этот интеграл не имеет простого аналитического решения в терминах элементарных функций. Тем не менее, можно использовать численные методы для его вычисления.

Итак, общее решение вашего дифференциального уравнения будет содержать две постоянные: \(C_1\) из интегрирования слева и \(C_2\) из интегрирования справа. После вычисления интеграла по частям и решения последнего интеграла вы получите конечное выражение для \(y(x)\).