Question

Синус альфа минус косинус альфа делить на синус альфа в кубе минус косинус альфа в кубе

Answer 1

Давайте рассмотрим выражение \( \frac{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)}{\sin^3(\alpha) - \cos^3(\alpha)} \) и упростим его.

1. Используем формулы для разности синуса и косинуса: \[ \sin(\alpha) - \cos(\alpha) = -\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \]

2. Теперь выражение примет вид: \[ \frac{-\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin^3(\alpha) - \cos^3(\alpha)} \]

3. В числителе и знаменателе у нас есть разность кубов: \[ \sin^3(\alpha) - \cos^3(\alpha) = (\sin(\alpha) - \cos(\alpha))(\sin^2(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) \]

4. Подставим этот результат в исходное выражение: \[ \frac{-\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{(\sin(\alpha) - \cos(\alpha))(\sin^2(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha))} \]

5. Теперь сократим общий множитель в числителе и знаменателе: \[ \frac{-\sqrt{2}}{\sin^2(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)} \]

6. Используем тригонометрическую тождественность \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \): \[ \frac{-\sqrt{2}}{1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)} \]

Это окончательный ответ. Важно отметить, что ответ может быть записан иначе, в зависимости от требований задачи.