Question

Найти интервалы монотонности и точки экстремума y=x^4-8x^2+3 на отрезке -2;2

Answer 1

Чтобы найти интервалы монотонности и точки экстремума функции \(y = x^4 - 8x^2 + 3\) на заданном отрезке \([-2, 2]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: \[y' = 4x^3 - 16x\]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение \(4x^3 - 16x = 0\): \[4x(x^2 - 4) = 0\] Таким образом, критические точки \(x\) - это \(x = 0, x = -2, x = 2\).

3. Построить таблицу знаков производной:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, -2) & (-2, 0) & (0, 2) & (2, +\infty) \\ \hline y' & - & + & - & + \\ \hline \end{array} \]

4. Определить интервалы монотонности: - На интервале \((-2, 0)\) производная \(y'\) положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале. - На интервале \((0, 2)\) производная \(y'\) отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

5. Найти точки экстремума: Точки экстремума находятся в критических точках. Подставим \(x = -2, 0, 2\) в исходную функцию \(y = x^4 - 8x^2 + 3\) и найдем соответствующие значения \(y\): - При \(x = -2\): \(y = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13\) - При \(x = 0\): \(y = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 3 = 3\) - При \(x = 2\): \(y = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13\)

Таким образом, точки экстремума находятся в точках \((-2, -13)\) и \((2, -13)\).

Итак, на отрезке \([-2, 2]\) функция \(y = x^4 - 8x^2 + 3\) убывает на интервале \((0, 2)\), возрастает на интервале \((-2, 0)\), и имеет точки экстремума в точках \((-2, -13)\) и \((2, -13)\).