Question

представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное второе было наибольшим

Answer 1

Для решения этой задачи мы должны представить число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых таким образом, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное второе было наибольшим.

Предположим, что первое слагаемое равно x, а второе слагаемое равно y. Мы хотим найти такие значения x и y, чтобы выполнялось следующее условие:

x + y = 12

Мы также хотим, чтобы произведение куба одного слагаемого на удвоенное второе было наибольшим. Или другими словами, мы хотим найти такие значения x и y, чтобы выполнялось следующее условие:

(x^3) * (2y) = максимальное возможное значение

Чтобы найти оптимальные значения x и y, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте найдем производную от функции (x^3) * (2y) по переменной x и приравняем ее к нулю:

d/dx [(x^3) * (2y)] = 3(x^2) * (2y) = 6xy(x^2) = 0

Отсюда мы получаем два возможных решения:

1. x = 0 2. y = 0

Однако, нам нужно найти неотрицательные значения x и y, поэтому мы отбрасываем решение x = 0. Таким образом, мы получаем:

x = 12 - y

Теперь, чтобы найти наибольшее возможное значение (x^3) * (2y), мы можем подставить x = 12 - y в это выражение:

((12 - y)^3) * (2y)

Для нахождения наибольшего значения этого выражения мы можем использовать метод максимума и минимума. Для этого мы должны найти критические точки, где производная выражения равна нулю:

d/dy [((12 - y)^3) * (2y)] = 0

Решая это уравнение, мы найдем критическую точку:

y = 4

Теперь, чтобы найти соответствующее значение x, мы можем использовать уравнение x = 12 - y:

x = 12 - 4 = 8

Таким образом, оптимальное представление числа 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых, удовлетворяющих условию, будет:

x = 8 y = 4

Теперь мы можем проверить, что произведение куба одного из слагаемых на удвоенное второе будет наибольшим:

(8^3) * (2 * 4) = 512 * 8 = 4096

Таким образом, произведение куба одного из слагаемых на удвоенное второе будет равно 4096, что является наибольшим возможным значением в данной задаче.