Question

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции

Answer 1

1\2 интеграл (от 0 до π\2) (1 - cos x) dx = (x - sin x) | ₀ π\2 = π\2 - cos π\2 -( 0 - cos 0) =π\2-0 - 0+1 = π\2 + 1 = (π+2)\2
интеграл ( от 0 до 1) (х²+1)(х+1) \ ( х+1) dx = интеграл ( от 0 до 1) (х²+1) dx =
(1\3 x³ +x) |¹₀ = 1\3 + 1 - 0 = 1 1\3

Answer 2

$1)\int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0{sin ^{2} \frac{x}{2} } \, dx = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{1-cosx}{2} } \, dx = \frac{x-sinx}{2}| _{0 }^{ \frac{ \pi }{2} } } = \frac{ \pi }{4} - \frac{1}{2} = \frac{ \pi -2}{4}$
$2) \int\limits^1_0 { \frac{ x^{3}+x^{2} + x+1}{x+1} } \, dx= \int\limits^1_0 { \frac{ x^{2}(x+1) +( x+1)}{x+1} } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{ (x+1)(x^{2} +1)}{x+1} } \, dx= \\ = \int\limits^1_0 { (x^{2} +1) } \, dx= (\frac{ x^{3} }{3}+x)| _{0} ^{1}= \frac{1}{3}+1=1 \frac{1}{3}$