Question

1 рисунок - какое максимальное значение может принимать выражение 2 рисунок - решить систему уравнений

Answer 1

В 1 задаче, кажется, опечатка - должно быть y вместо t.
z = √(xy)/(x+y+2)^2
Максимум функции двух переменных будет при двух условиях:
1) Обе частные производные равны 0
$\frac{dz}{dx} = \frac{ \frac{ \sqrt{y} }{2 \sqrt{x} } (x+y+2)^2- \sqrt{xy}*2(x+y+2) }{(x+y+2)^4} =\frac{ \frac{ \sqrt{y} }{2 \sqrt{x} } (x+y+2)- \sqrt{xy}*2 }{(x+y+2)^3}=$
$= \frac{ \sqrt{y}(x+y+2)-4x \sqrt{y}}{2 \sqrt{x} (x+y+2)^3}= \frac{ \sqrt{y}(y+2-3x) }{2 \sqrt{x} (x+y+2)^3}=0$
$\frac{dz}{dy} = \frac{ \frac{ \sqrt{x} }{2 \sqrt{y} }*(x+y+2)^2- \sqrt{xy}*2(x+y+2) }{(x+y+2)^4} =\frac{ \frac{ \sqrt{x} }{2 \sqrt{y} }*(x+y+2)- \sqrt{xy}*2 }{(x+y+2)^3}=$
$= \frac{ \sqrt{x} (x+y+2)-4y \sqrt{x} }{2 \sqrt{y}*(x+y+2)^3 } = \frac{ \sqrt{x} (x+2-3y)}{2 \sqrt{y}*(x+y+2)^3 } =0$
Дроби равны 0, когда числитель равен 0
{ √y*(y+2-3x) = 0
{ √x*(x+2-3y) = 0
y1 = 0; подставляем во 2 уравнение: √x*(x+2)=0; x1=0; x2=-2
Решения: (0; 0); (-2; 0) - не подходит, x ≥ 0
x1 = 0; подставляем в 1 уравнение: √y*(y+2)=0; y1=0; y2=-2
Решения: (0; 0); (0; -2) - не подходит, y ≥ 0
Если x > 0 и y > 0, то
{ y + 2 - 3x = 0
{ x + 2 - 3y = 0
Умножаем 2 уравнение на 3
{ -3x + y + 2 = 0
{ 3x - 9y + 6 = 0
Складываем уравнения
-8y + 8 = 0
y = 1; 3x - 9 + 6 = 3x - 3 = 0; x = 1
Решение: (1; 1). $z= \frac{1*1}{(1+1+2)^2} = \frac{1}{16}$

2 задача. Система
$\left \{ {{x+y=12} \atop {2(2log_{y^2}(x)-log_{1/x}(y))=5}} \right.$
Область определения логарифмов:
{ x > 0; x =/= 1
{ y > 0; y =/= 1
У логарифмов есть такое свойство: $log_a(b)= \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$
Причем новое основание с может быть любым, например, 10
Перепишем 2 уравнение, воспользовавшись этим свойством.
$\frac{2lg(x)}{lg(y^2)}- \frac{lg(y)}{lg(1/x)} =5/2$
Преобразуем 2 уравнение по свойствам логарифмов.
$\frac{2lg(x)}{2lg(y)}+ \frac{lg(y)}{lg(x)} =5/2$
Замена $t=\frac{lg(x)}{lg(y)}$
t + 1/t = 5/2
Умножаем все на 2t
2t^2 - 5t + 2 = 0
(t - 2)(2t - 1) = 0
Получаем два решения:
1) $\left \{ {{x+y=12} \atop { \frac{lg(x)}{lg(y)}=log_y(x) =2}} \right.$
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
$log_y(12-y)=2$
y^2 = 12 - y
y^2 + y - 12 = 0
(y + 4)(y - 3) = 0
Решение: y1 = 3; x1 = 9
y = -4 < 0 - не подходит.
2) $\left \{ {{x+y=12} \atop { \frac{lg(x)}{lg(y)}=log_y(x) =1/2}} \right.$
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
$log_y(12-y)=1/2$
$\sqrt{y} =12-y$
y = (12 - y)^2 = y^2 - 24y + 144
y^2 - 25y + 144 = 0
(y - 9)(y - 16) = 0
Решение: y2 = 9; x2 = 3
При y = 16 будет x = 12 - y < 0 - не подходит.
Ответ: (3; 9); (9; 3)