Question

Система под номером 9

Answer 1

{5x₁-19x₂-x₃=26
{2x₁-5x₂-x₃=6
{8x₁-31x₂-4x₃=35

a)метод Крамера.
Находим главный определитель:
$D=\left|\begin{array}{ccc}5&-19&-1\\2&-5&-1\\8&-31&-4\end{array}\right|=5*(-5)*(-4)+(-19)*(-1)*8+\\\\+(-1)*2*(-31)-((-1)*(-5)*8+5*(-31)*(-1)+2*(-4)*(-19)=\\=100+152+62-40-155-152=-33\neq0$

Находим D₁(в главный определитель вместо 1 столбца подставляем свободные коэффициенты)
$D_1=\left|\begin{array} {ccc}26&-19&-1\\6&-5&-1\\35&-31&-4\end{array}\right|=520+665+186-175-806-456=-66$

Находим D₂:
$D_2=\left|\begin{array}{ccc}5&26&-1\\2&6&-1\\8&35&-4\end{array}\right|=-120-208-70+48+175+208=33$

Находим D₃:
$D_3=\left|\begin{array}{ccc}5&-19&26\\2&-5&6\\8&-31&35\end{array}\right|=-875-912-1612+1040+930+1330=-99$

Рассчитаем x₁, x₂, x₃:
$x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{-66}{-33}=2\\x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{33}{-33}=-1\\x_3=\frac{D_3}{D}=\frac{-99}{-33}=3$




в)Метод Гауса.
Запишем систему неравенств в виде матрицы, и приведём её к ступенчатому виду, при помощи элементарных преобразований.
$\left(\begin{array}{ccc}5&-19&-1\\2&-5&-1\\8&-31&-4\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}26\\6\\35\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&-9&1\\2&-5&-1\\8&-31&-4\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}14\\6\\35\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{ccc}1&-9&1\\0&13&-3\\0&41&-12\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}14\\-22\\-77\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&-9&1\\0&13&-3\\0&0&\frac{-33}{13}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}14\\-22\\-\frac{99}{13}\end{array}\right)$
Получаем такую систему:
{x₁-9x₂+x₃=14
{13x₂-3x₃=-22
{-33/13*x₃=-99/13

Эта система легко решается.
{x₃=3
{x₂=-1
{x₁=2




б) Матричный метод.
Запишем систему в матричной форме.
$A= \left(\begin{array}{ccc}5&-19&-1\\2&-5&-1\\8&-31&-4\end{array}\right),\ x= \left(\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right),\ b= \left(\begin{array}{ccc}26\\6\\35\end{array}\right)$
A·X=b
Тогда решением будет:
X=A⁻¹·b

Найдём A⁻¹ по формуле:
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}*A_*^{T}$
Где $A_*^{T}$ транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A

Найдём |A|:
.$|A|= \left(\begin{array}{ccc}5&-19&-1\\2&-5&-1\\8&-31&-4\end{array}\right)=100+152+62-40-155-152=-33$

Найдём $A_*^{T}$. Для этого посчитаем все алгебраические дополнения:
$A_{11}=(-1)^{1+1}* \left(\begin{array}{ccc}-5&-1\\-31&-4\end{array}\right)=20-31=-11\\A_{12}=(-1)^{1+2}*\left(\begin{array}{ccc}2&-1\\8&-4\end{array}\right)=-1*((-8)-(-8))=0\\A_{13}=(-1)^{1+3}*\left(\begin{array}{ccc}2&-5\\8&-31\end{array}\right)=-62-(-40)=-22\\A_{21}=(-1)^{2+1}*\left(\begin{array}{ccc}-19&-1\\-31&-4\end{array}\right)=-1(76-31)=-45\\A_{22}=(-1)^{2+2}*\left(\begin{array}{ccc}5&-1\\8&-4\end{array}\right)=-20-(-8)=-12$
$A_{23}=(-1)^{2+3}*\left(\begin{array}{ccc}5&-19\\8&-31\end{array}\right)=-(-155-(-152))=3\\A_{31}=(-1)^{3+1}*\left(\begin{array}{ccc}-19&-1\\-5&-1\end{array}\right)=19-5=14\\A_{32}=(-1)^{3+2}*\left(\begin{array}{ccc}5&-1\\2&-1\end{array}\right)=-(-5-(-2))=3\\A_{33}=(-1)^{3+3}*\left(\begin{array}{ccc}5&-19\\2&-5\end{array}\right)=-25-(-38)=13$

Запишем алгебраические дополнения в виде матрицы:
$A_*= \left(\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}-11&0&-22\\-45&-12&3\\14&3&13\end{array}\right)$
Транспонируем эту матрицу:
$A_*^T=\left(\begin{array}{ccc}-11&0&-22\\-45&-12&3\\14&3&13\end{array}\right)^T=\left(\begin{array}{ccc}-11&-45&14\\0&-12&3\\-22&3&13\end{array}\right)$

Найдём A⁻¹(в матрицу пока что занесём только минус):
$A^{-1}=\frac{1}{-33}*\left(\begin{array}{ccc}-11&-45&14\\0&-12&3\\-22&3&13\end{array}\right)=\frac{1}{33}*\left(\begin{array}{ccc}11&45&-14\\0&12&-3\\22&-3&-13\end{array}\right)$

Найдём решения системы:
$X=A^{-1}*b\\ \left(\begin{array}{ccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\frac{1}{33}*\left(\begin{array}{ccc}11&45&-14\\0&12&-3\\22&-3&-13\end{array}\right)*\left(\begin{array}{ccc}26\\6\\35\end{array}\right)=\\=\frac{1}{33} \left(\begin{array}{ccc}11*26+45*6-14*35\\0*26+12*6-3*35\\22*26-3*6-13*35\end{array}\right)=\frac{1}{33} \left(\begin{array}{ccc}66\\-33\\99\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}2\\-1\\3\end{array}\right)$